Phy­si­ka­li­sche Eigen­schaf­ten (Mas­se, Wider­stand, Aus­deh­nung) ver­schie­de­ner Werkstoffe

Bei so unter­schied­li­chen Din­gen wie dem Bau einer Kurz­wel­len­an­ten­ne und beim Auf­bau eines Trep­pen- bzw. Ter­ras­sen­ge­län­ders kam bei mir immer wie­der die Fra­ge auf, was denn nun ein 1,10 m lan­ger Edel­stahl­pfo­sten oder ein 18,55 m lan­ger Anten­nen­draht aus 2 mm dickem Alu­mi­ni­um­draht wiegt und auch wel­chen ohm­schen Wider­stand das Teil hat. Auch die Fra­ge, ob man ein 5 m lan­ges Edel­stahl­rohr mit 42,2 mm Außen­durch­mes­ser und 2 mm dicker Wand eher tra­gen kann, als ein gleich­lan­ges Alu­mi­ni­um­rohr mit 5 mm dicker Wand, ist für die Instal­la­ti­on als Anten­nen­mast nicht ganz uner­heb­lich. Wenn man an die Erdung des Roh­res denkt, ist auch sein elek­tri­scher Wider­stand nicht ver­nach­läs­sig­bar, denn gera­de Edel­stahl ist ja als rela­tiv schlech­ter Lei­ter bekannt. Auch die Fra­ge, ob ein im Som­mer bei 38°C abge­stimm­ter Anten­nen­draht auch bei ‑10°C im Win­ter noch hin­rei­chend reso­nant ist, soll­te zumin­dest mal unter­sucht werden.

Nach­dem ich dann mehr­fach die jewei­li­gen Mate­ri­al­pa­ra­me­ter (spe­zi­fi­sche Mas­se, spe­zi­fi­scher Wider­stand, Tem­pe­ra­tur­ko­ef­fi­zi­ent des­sel­ben, Aus­deh­nungs­ko­ef­fi­zi­ent) im Inter­net zusam­men­ge­sucht und die Wer­te mit dem Taschen­rech­ner aus­ge­rech­net habe, war es an der Zeit, ein pas­sen­des Libre­Of­fice Spreadsheet dafür zu erstel­len. Hier ist es:

Die Tabel­le „Eigen­schaf­ten“ ent­hält die aus dem Inter­net gesam­mel­ten Mate­ri­al­pa­ra­me­ter. Bei den jewei­li­gen Wer­ten ist eine gewis­se Vor­sicht von­nö­ten. Die Wer­te für che­misch rei­ne Mate­ria­li­en dürf­ten ziem­lich gut bekannt sein und nur gering­fü­gig vom tat­säch­li­chen Wert abwei­chen. Legie­run­gen wie z.B. Edel­stahl oder Kon­stantan, aber auch Kup­fer­ka­bel oder Alu­mi­ni­um kön­nen grö­ße­re Abwei­chun­gen haben, weil ihre genaue Zusam­men­set­zung schwankt. Die Ergeb­nis­se soll­ten für Aller­welts­an­wen­dun­gen hin­rei­chend genau sein, wer es genau­er haben muß, soll­te sich jedoch das Daten­blatt des jewei­li­gen Her­stel­lers besorgen.

Das Spreadsheet ent­hält auch noch eini­ge Nicht­lei­ter wie Kunst­stof­fe und Glas. Dabei ging es natür­lich nicht um deren elek­tri­schen Wider­stand, son­dern um die Mas­se und ggf. den Aus­deh­nungs­ko­ef­fi­zi­en­ten. Wegen der unter­schied­li­chen Zusam­men­set­zung schwan­ken auch hier die Anga­ben ziem­lich stark. Oft sind Mini­mum- und Maxi­mum­wer­te ange­ge­ben. Auch die elek­tri­schen Wider­stän­de habe ich (spa­ßes­hal­ber) erfasst, wenn Wer­te dafür zu fin­den waren. Sie schwan­ken oft um meh­re­re Zeh­ner­po­ten­zen und haben daher kei­ne prak­ti­sche Rele­vanz. Dafür habe ich „min“ und „max“ Spal­ten ein­ge­führt und dar­aus den Mit­tel­wert errech­net, der dann für die Berech­nun­gen benutzt wird.

Die eigent­li­chen Berech­nun­gen fin­den in der gleich­na­mi­gen Tabel­le statt. Dort wählt man zunächst in Zel­le A2 das Mate­ri­al aus, in Spal­te C soll­ten dann die dazu­ge­hö­ri­gen phy­si­ka­li­schen Para­me­ter erschei­nen. Abhän­gig von der Kon­tur des Quer­schnitts wird dann in Zei­le 2, 5 oder 8 wei­ter­ge­ar­bei­tet und in der dazu­ge­hö­ri­gen Spal­te E wird jeweils die Län­ge des Werk­stücks in Mil­li­me­ter ange­ge­ben. Zei­le 2 gilt für recht­ecki­ge Quer­schnitt und die Brei­te und Dicke wird in Spal­ten F und G ange­ge­ben. Für run­des Voll­ma­te­ri­al (Draht, Kabel oder Stab) wird Zei­le 5 benutzt. Die Quer­schnitts­flä­che (nicht der Durch­mes­ser!) wird in die­sem Fall direkt in Spal­te H ange­ge­ben. Für Roh­re wird Zei­le 8 benutzt, wobei der Außen­durch­mes­ser und die Wand­stär­ke in den Spal­ten F und G ange­ge­ben wer­den. Falls nicht in Zei­le 5 direkt ange­ge­ben, wird in Spal­te H der jewei­li­ge Quer­schnitt errech­net. Spal­te J zeigt nun den elek­tri­schen Wider­stand in mΩ an, ggf. abhän­gig von der in Spal­te I gewähl­ten Tem­pe­ra­tur. Wählt man in Spal­te K eine Strom­stär­ke, so wird in Spal­te L der Span­nungs­ab­fall und in Spal­te M die dabei ver­heiz­te Lei­stung angezeigt.

Spal­te M zeigt die gesam­te Mas­se des Werk­stücks an und Spal­te N die Län­gen­än­de­rung bei der gewähl­ten Tem­pe­ra­tur gegen­über 20°C.

Bei­spiel­an­wen­dun­gen:

1.) ein 18,55 m lan­ger Alu­mi­ni­um­draht mit 2 mm Durch­mes­ser wiegt 158 g und hat einen Wider­stand von 156 mΩ. Ein alter­na­ti­ver Draht aus Stahl­lit­ze von 1,6 mm Durch­mes­ser wiegt 354 g und hat einen ohm­schen Wider­stand von 1,384 Ω. Ein sol­cher Draht wur­de zum Bau einer Kurz­wel­len­an­ten­ne ver­wen­det. Ich habe mich für den Aludraht ent­schie­den, weil er leich­ter ist und nur ein zehn­tel des elek­tri­schen Wider­stan­des der Lit­ze hat.

2.) ein 1 m lan­ges Edel­stahl­rohr mit 42,4 mm Durch­mes­ser und einer Wand­stär­ke von 2 mm wiegt ziem­lich genau 2 kg. Sol­che Roh­re wer­den zuhauf für den Bau von Edel­stahl­ge­län­dern verwendet.

Noch ein Hin­weis: die Tabel­le ist geschützt (ohne Pass­wort), so daß man nicht ver­se­hent­lich die Fel­der ändert, die nor­ma­ler­wei­se nicht geän­dert wer­den sol­len. Die unge­schütz­ten Ein­ga­be­fel­der sind gelb hin­ter­legt. Sol­len ande­re Fel­der geän­dert wer­den, muß die Tabel­le zunächst frei­ge­ge­ben wer­den (bei Libre­Of­fice: Extras, Tabel­le schützen).

2020_12_30: Hier gibt es eine neue Ver­si­on.

Unfäl­le mit schwe­ren Fahrzeugen

Auch wenn sich die Anzahl der Ver­kehrs­to­ten in den ver­gan­ge­nen Jahr­zehn­ten erheb­lich redu­ziert hat, ster­ben in Deutsch­land immer noch jähr­lich mehr als 3000 Men­schen im Stra­ßen­ver­kehr. Sobald an einem die­ser Unfäl­le ein schwe­res Fahr­zeug, ins­be­son­de­re ein SUV betei­ligt ist, ist das Echo in den Medi­en groß. Kürz­lich raste in Ber­lin der Fah­rer eines SUV mit über 100 km/h in eine Fuß­gän­ger­grup­pe und töte­te meh­re von ihnen. Inzwi­schen wur­de bekannt, daß er einen epi­lep­ti­schen Anfall hatte.

Hier soll nun rein aus phy­si­ka­li­scher Sicht unter­sucht weden, wie sich die Fahr­zeug­mas­se ma auf die Unfall­fol­gen aus­wirkt. Als Bei­spiel rech­nen wir die Mecha­nik für einen unbe­la­de­nen Klein­wa­gen, einen Daihatsu Cuo­re mit ma = 800 kg Mas­se und einen fast maxi­mal bela­de­nen Kia Soren­to mit ma = 2400 kg Mas­se durch. Übri­gens lie­gen auch Elek­tro­au­tos wegen der schwe­ren Akkus in der­sel­ben Gewichts­klas­se, wie die SUVs. Da deren Fah­rer aber zu den Guten gehö­ren, wird das nor­ma­ler­wei­se nicht wei­ter the­ma­ti­siert. Hat man bei einem Unfall mit einem Daihatsu Cuo­re wirk­lich eine bes­se­re Über­le­bens­chan­ce als mit einem SUV oder Elektroauto?

Vor­be­mer­kung

Wie immer in der Phy­sik müs­sen vie­le Annah­men getrof­fen wer­den, denn jeder Unfall ist anders. Viel­leicht wäre der Cuo­re von einem Beton­pol­ler gestoppt wor­den, viel­leicht hät­te er den Pol­ler aber auch gar­nicht getrof­fen, weil der Cuo­re schma­ler ist, als ein SUV. Viel­leicht hät­te der SUV den Pol­ler gera­de so tou­chiert, daß er sich um 90° gedreht hät­te und dadurch erheb­lich abge­bremst wür­de. Bei einem recht­zei­ti­gen Brems­ver­such wäre viel­leicht der SUV im Vor­teil, weil er eine bes­se­re Brems­ver­zö­ge­rung hat. Hät­te, hät­te, Fahr­rad­ket­te. All die­se Din­ge müs­sen im all­ge­mei­nen Fall unbe­rück­sich­tigt blei­ben. Daher betrach­ten wir nach­fol­gend nur die Fron­tal­kol­li­si­on der genann­ten Fahr­zeu­ge mit einem ruhen­den Fuß­gän­ger, der ein Kör­per­ge­wicht mf von 80 kg hat. Außer­dem soll der Fuß­gän­ger weder gestreift wer­den, noch über oder unter dem Fahr­zeug ent­wei­chen. Es soll sich um einen idea­len unela­sti­schen Stoß han­deln, bei dem die maxi­ma­le kine­ti­sche Ener­gie auf den Fuß­gän­ger über­tra­gen wer­den soll. Nach dem Stoß bewe­gen sich Fahr­zeug und Fuß­gän­ger mit der­sel­ben Geschwin­dig­keit vor­wärts. Alle ande­ren Fäl­le über­tra­gen weni­ger Ener­gie auf das Opfer und sind daher in der Regel günstiger.

Argu­men­te der Halbwissenden

Wer die Grund­la­gen der Mecha­nik kennt, weiß daß sich die kine­ti­sche Ener­gie eines Kör­pers über die Formel

E = ½ * m * v2

errech­net. Das führt zur völ­lig kor­rek­ten Erkennt­nis, daß die kine­ti­sche Ener­gie des drei­mal so schwe­ren SUV auch drei­mal so groß ist, wie die des Klein­wa­gens. Die logisch klin­gen­de, aber fal­sche Fol­ge­rung ist, daß ein Unfall mit einem SUV für das Opfer drei­mal so schlimm sein muß.

Wodurch wird ein Mensch bei einem Unfall ver­letzt oder getötet?

Zunächst müs­sen wir klä­ren, wodurch ein Mensch bei einem Unfall über­haupt veletzt oder getö­tet wird. Ist es die kine­ti­sche Ener­gie, die beim Zusam­men­stoß vom Auto auf den Fuß­gän­ger über­tra­gen wird? Nur indi­rekt, denn der Fah­rer selbst wur­de ja vom Fahr­zeug auf die­sel­be Geschwin­dig­keit beschleu­nigt, nur eben lang­sa­mer. Es muß also die Kraft sein, die beim Auf­prall auf den Kör­per des Fuß­gän­gers wirkt. Wenn die­se Kraft groß genug ist, ver­ur­sacht sie Prel­lun­gen, Kno­chen­brü­che und Wun­den. Die­se Kraft steigt frei­lich mit der Ener­gie, die das Fahr­zeug auf den Fuß­gän­ger überträgt.

Zur Phy­sik

Bei gleich­mä­ßi­ger Beschleu­ni­gung ist die auf einen Kör­per wir­ken­de Kraft F die Ener­gie E pro Strecke s:

F = E / s

Das erklärt auch, wes­halb der Fah­rer trotz der glei­chen kine­ti­schen Ener­gie (bei ange­nom­me­nem glei­chen Kör­per­ge­wicht) das Fahr­zeug unge­scho­ren auf Kol­li­si­ons­ge­schwin­dig­keit brin­gen konn­te: die Strecke über die die kine­ti­sche Ener­gie auf­ge­baut wur­de, ist weit­aus höher und die Kraft daher wesent­lich gerin­ger. Dem Fuß­gän­ger bleibt zum Beschleu­ni­gen nur die eige­ne Knautsch­zo­ne und die des Fahrzeugs.

Die bei der Kol­li­si­on ein­wir­ken­de Kraft führt dazu, daß der Kör­per des Fuß­gän­gers solan­ge beschleu­nigt wird, bis er sich genau­so schnell bewegt, wie das durch den Zusam­men­prall abge­brem­ste (nega­tiv beschleu­nig­te) Fahr­zeug. Phy­si­ka­lisch gese­hen wird durch einen unela­sti­schen Stoß Ener­gie vom Fahr­zeug auf den Kör­per des Opfers übertragen.

Wie groß ist die­se Ener­gie nun im Fall des Klein­wa­gens und im Fall des SUV? Die Geset­ze der Ener­gie- und der Impuls­er­hal­tung hel­fen hier wei­ter. Sie haben uni­ver­sel­le Gültigkeit.

Ener­gie­er­hal­tung

Da Ener­gie weder erzeugt noch ver­nich­tet wer­den kann, ist die gesam­te Ener­gie des Systems nach der Kol­li­si­on die­sel­be wie vor der Kol­li­si­on. Die kine­ti­sche Ener­gie E0 des Fahr­zeugs vor der Kol­li­si­on ist also:

E0 = ½ * ma * v02

Die kine­ti­sche Ener­gie E1 von Auto und Fuß­gän­ger nach der Kol­li­si­on ist:

E1 = ½ * (ma+mf) * v12

Ein Teil der kine­ti­schen Ener­gie wur­de bei der Kol­li­si­on in Umfor­mungs­en­er­gie Eu umge­wan­delt, so daß gilt:

E0 = E1 + Eu

Uns inter­es­siert Eu in Abhän­gig­keit von der Mas­se des Fahr­zeugs. Die­se Umfor­mungs­en­er­gie kön­nen wir unter Berück­sich­ti­gung der Impuls­er­hal­tung berechnen.

Impuls­er­hal­tung

Neben dem Ener­gie­er­hal­tungs­satz gilt auch immer die Erhal­tung des Impul­ses. Die Sum­me der Impul­se des Fahr­zeugs und des Fuß­gän­gers p =pa+pf ist vor der Kol­li­si­on die­sel­be, wie die Sum­me der Impul­se nach der Kollision:

p = ma * v0 + mf * vf0 = ma * va1 + mf * vf1

Die­se Glei­chung läßt sich etwas ver­ein­fa­chen. Da der Fuß­gän­ger vor der Kol­li­si­on ruht, ist sei­ne Geschwin­dig­keit vf0 = 0 und sein Bei­trag ent­fällt. Nach der Kol­li­si­on sol­len Auto und Fuß­gän­ger die­sel­be Geschwin­dig­keit haben, die wir nun v1 nennen:

ma * v0 = (ma + mf) * v1

oder nach v1 umgeformt:

v1 = (ma * v0) / (ma + mf)

Aus bei­den Erhal­tungs­sät­zen kann man nun die schäd­li­che Umfor­mungs­en­er­gie Eu berechnen:

Eu = E0 – E1 = ½ * ma * v02 – ½ * (ma+mf) * v12

Nun kann man v1 erset­zen und erhält:

Eu = ½ * ma * v02 – ½ * (ma+mf) * ((ma * v0) / (ma + mf))2

Alle Varia­blen auf der rech­ten Sei­te sind bekannt und so kann man die Umfor­mungs­en­er­gie aus­rech­nen, die der Fuß­gän­ger abbe­kommt. Mit der For­mel für die poten­ti­el­le Ener­gie kann man dar­aus die Höhe aus­rech­nen, aus der er stür­zen müss­te, um die­sel­be Ener­gie abzubekommen:

h = Epot / (m * g)

g ist dabei die Erd­be­schleu­ni­gung von etwa 9,81 m/s2. Wahr­schein­lich las­sen sich die For­meln ver­ein­fa­chen, aber in der Zeit moder­ner Com­pu­ter ist das nicht nötig. Man kann mit einem Spreadsheet auch so die Ergeb­nis­se bei ver­schie­de­nen Ein­gangs­va­ria­blen schnell berech­nen. Hier ein paar Beispiele:

Fahr­zeug­mas­se
[kg]
Geschwin­dig­keit
[km/h]
Ener­gie
[J]
Fall­hö­he
[m]
8003025253,22
8005070158,94
8001002805835,75
24003026883,43
24005074679,51
24001002986938,06

Die Spal­te „Ener­gie“ zeigt die auf den Kör­per des Fuß­gän­gers über­tra­ge­ne Umfor­mungs­en­er­gie und die letz­te Spal­te zeigt die äqui­va­len­te Fallhöhe.

An die­sen Wer­ten sieht man, daß der Ein­fluß des Fahr­zeug­mas­se gering ist. Die drei­fa­che Mas­se des SUV über­trägt also nur gut 6% mehr Ener­gie auf den Fuß­gän­ger, kei­nes­falls die drei­fa­che Ener­gie, wie der Laie ver­mu­ten wür­de. Weit­aus gefähr­li­cher ist die Geschwin­dig­keit des Fahr­zeugs. Der SUV aus die­sem Bei­spiel erzeugt bei gut 96 km/h den­sel­ben Scha­den, wie der Klein­wa­gen bei 100 km/h. Die­ser gerin­ge Geschwin­dig­keits­un­ter­schied ist in der Pra­xis ver­nach­läs­sig­bar und liegt inner­halb der zuläs­si­gen Feh­ler­gren­zen der Tachometer.

Eine Kol­li­si­on bei 30 km/h ent­spricht einem Sturz aus 3,22 m bzw. 3,43 m Höhe. Schon dabei kann man sich erheb­lich ver­let­zen oder das Leben ver­lie­ren. Die 21 cm Unter­schied dürf­ten in der Pra­xis kaum bemerk­bar sein. Eine Kol­li­si­on mit 50 km/h ent­spricht aber schon einem Sturz aus 9 m Höhe und dürf­te nur mit viel Glück über­leb­bar sein, weit­ge­hend unab­hän­gig vom Fahrzeugtyp.