Man­tel­wel­len als Fol­ge sym­me­tri­scher und asym­me­tri­scher Quel­len und Senken

Die­ser Bei­trag erklärt die Unter­schie­de sym­me­tri­scher und asym­me­tri­scher Strom- und Span­nungs­quel­len und Sen­ken. Er zeigt anhand von Spi­ce-Simu­la­tio­nen, was pas­siert, wenn die Sym­me­trie zwi­schen Quel­le und Sen­ke gebro­chen wird und wie man die Fol­gen davon mini­miert. Obwohl die Über­le­gun­gen glei­cher­ma­ßen für Gleich- und Wech­sel­span­nung bzw. Gleich- und Wech­sel­strom jeder Fre­quenz gel­ten, ist der Ein­fach­heit hal­ber nach­fol­gend immer von Wech­sel­span­nung die Rede. Da es um Funk­an­wen­dun­gen geht, soll­te man immer in der MHz-Kate­go­rie den­ken, eher nicht an 50 Hz.

Als Mas­se bezeich­net man übli­cher­wei­se das Refe­renz­po­ten­ti­al inner­halb einer elek­tro­ni­schen Ein­heit. Um ein gerä­te­über­grei­fen­des Refe­renz­po­ten­ti­al zu haben, wer­den die Mas­sen ein­zel­ner Gerä­te in der Regel zusam­men­ge­schlos­sen und geer­det, also mit der Gebäu­de­er­dung verbunden.

Defi­ni­ti­on

Der Begriff Sym­me­trie bezieht sich hier auf das Refe­renz­po­ten­ti­al, nor­ma­ler­wei­se also die Mas­se. Eine asym­me­tri­sche Quel­le oder Sen­ke hat die Mas­se als fixes Refe­renz­po­ten­ti­al. Das Signal am ande­ren Pol wird immer gegen die­se Mas­se gemes­sen und kann dem­ge­gen­über belie­bi­ge posi­ti­ve und nega­ti­ve Wer­te anneh­men. Das Mas­se­po­ten­ti­al bleibt dabei immer kon­stant und hat defi­ni­ti­ons­ge­mäß eine Span­nung von null Volt. Es ist also gegen­über dem Signal pri­vi­le­giert und nicht austauschbar.

Asymmetrische Spannungsquelle
Asym­me­tri­sche Spannungsquelle

Bei einer sym­me­tri­schen Quel­le sind bei­de Pole gleich­be­rech­tigt. Sie kön­nen einen Mas­se­be­zug haben, müs­sen das aber nicht. Span­nun­gen wer­den nur zwi­schen den bei­den Polen gemes­sen. Sie kön­nen gegen­ein­an­der getauscht wer­den, wodurch sich ledig­lich die Pha­se um 180° dreht.

Symmetrische Spannungsquelle
Sym­me­tri­sche Spannungsquelle

Falls ein Mas­se­be­zug der sym­me­tri­schen Quel­le vor­han­den ist, muß die­se Mas­se jeder­zeit auf dem mitt­le­ren Poten­ti­al die­ser bei­den Pole lie­gen, denn sonst ist die Quel­le nicht mehr sym­me­trisch. Den klas­si­schen Fall einer sym­me­tri­schen Span­nungs­quel­le stellt ein Trans­for­ma­tor mit zwei gleich­ar­ti­gen Sekun­där­wick­lun­gen dar, die in der Mit­te mit­ein­an­der und mit der Mas­se ver­bun­den sind.

Symmetrische Spannungsquelle mit Massebezug
Sym­me­tri­sche Span­nungs­quel­le mit Massebezug

Elek­tri­sches Verhalten

Poten­ti­al­freie Last

Der Anschluß einer sym­me­tri­schen Last an eine sym­me­tri­sche oder asym­me­tri­sche Span­nungs­quel­le zeigt kei­ne Überraschungen.

Simulation einer asymmetrischen Spannungsquelle
Simu­la­ti­on einer asym­me­tri­schen Spannungsquelle

Hier wird eine 1 MHz Sinus­span­nung von 10Veff an einen reel­len 50 Ω Wider­stand ange­legt. Die am Wider­stand R1 umge­setz­te Lei­stung beträgt 2 W. Dar­an ändert sich nichts, wenn man die Mas­se weg­lässt. Aller­dings will Spi­ce immer einen Mas­se­be­zug haben, die Simu­la­ti­on wür­de ohne die Mas­se­ver­bin­dung also scheitern.

In der Rea­li­tät sind die bei­den Zulei­tun­gen zu R1 aller­dings nicht ide­al. Sie haben einen ohm­schen Wider­stand, eine Induk­ti­vi­tät und eine Kapa­zi­tät. Simu­lie­ren wir mal nur den ohm­schen Wider­stand und ver­nach­läs­si­gen wir die Impedanzen.

Simulation einer asymmetrischen Spannungsquelle und des Zuleitungswiderstands
Simu­la­ti­on einer asym­me­tri­schen Span­nungs­quel­le und des Zuleitungswiderstands

Es wur­de will­kür­lich ein Lei­tungs­wi­der­stand von 1 Ω je Lei­tung ange­nom­men. Dadurch sinkt die in R1 umge­setz­te Lei­stung auf 1,85 W. Wich­ti­ger ist hier aber die Dif­fe­renz der Strö­me (rote Linie), die durch die Zulei­tun­gen R4 und R5 flie­ßen: die­se Dif­fe­renz ist null. Die Strö­me sind also jeder­zeit völ­lig gleich.

Ein sym­me­tri­scher Dipol als Last

Wie sieht das nun aus, wenn wir einen sym­me­tri­schen Dipol anschlie­ßen, des­sen Impe­danz bei Reso­nanz 50 Ω reell sein soll (was bekannt­lich nur annä­hernd stimmt), sich also von dem oben gezeig­ten Wider­stand nicht unter­schei­det. Dabei soll ein Dipol-Arm an UR11 ange­schlos­sen wer­den, der ande­re an UR12.

Der Dipol erfüllt nicht die Erwar­tung, daß UR12, wenn auch über 1 Ω, auf Mas­se­po­ten­ti­al bleibt. Der Dipol ist frei auf­ge­hängt und bei­de Pole sind gleich­wer­tig, er ist sym­me­trisch. Über die gal­va­ni­sche Kopp­lung an UR11 und UR12 hin­aus, ist der Dipol auch durch sein elek­tro­ma­gne­ti­sches Feld mit Erde und Mas­se ver­bun­den. Die Abstrah­lung die­ses elek­tro­ma­gne­ti­schen Fel­des ist ja letzt­lich sei­ne Auf­ga­be. Es darf nicht igno­riert wer­den. Der Dipol gene­riert sich damit sein eige­nes mit­ti­ges Bezugs­po­ten­ti­al und damit sieht die Rea­li­tät nun fol­gen­der­ma­ßen aus:

Simulation einer symmetrischen Last an einer asymmetrischen Spannungsquelle
Simu­la­ti­on einer sym­me­tri­schen Last an einer asym­me­tri­schen Spannungsquelle

Der Last­wi­der­stand von 50 Ω ist nun gleich­mä­ßig in R1 und R2 von jeweils 25 Ω auf­ge­teilt und deren mitt­le­re Ver­bin­dung ist über einen Wider­stand R3 an die Erde gelegt. Das soll ver­ein­facht die elek­tro­ma­gne­ti­sche Kopp­lung des Dipols zu Erde simu­lie­ren. Die tat­säch­li­che Grö­ße von R3 ist für das Ver­ständ­nis nicht rele­vant. Hier wur­den 100 Ω gewählt, damit der Effekt deut­lich sicht­bar wird: die Strö­me über R4 und R5 glei­chen sich jetzt nicht mehr aus. Wenn man R5 als den Außen­lei­ter eines Koax­ka­bels betrach­tet, die Abschir­mung, fließt nun ein Strom in die­sem Man­tel, ein Man­tel­strom. Damit liegt die Abschir­mung nicht mehr auf einem ein­heit­li­chen Poten­ti­al, was bei grö­ße­ren Sen­de­lei­stung zu aller­lei teils über­ra­schen­den, aber uner­wünsch­ten, Effek­ten führt. Der auf­fäl­lig­ste davon ist mei­stens die Ein­strah­lung in ande­re elek­tro­ni­sche Gerä­te, wie z.B. einen PC. Wenn der bei Druck auf die Sen­de­ta­ste ein­friert, wenn Maus oder Tasta­tur ver­rückt spie­len, dann sind mei­stens Man­tel­wel­len dafür verantwortlich.

Die Ret­tung: ein Symmetrierer

Um die­se Man­tel­strö­me zu ver­mei­den, muß das asym­me­tri­sche Signal aus dem Koax­ka­bel zum Spei­sen des Dipols an des­sen Ein­spei­se­punkt sym­me­triert wer­den. Die­se Funk­ti­on über­nimmt ein Balun (balanced-unbalan­ced), der übli­cher­wei­se als Trans­for­ma­tor auf­ge­baut ist.

Simulation einer symmetrischen Last an einer asymmetrischen Spannungsquelle mit Symmetrierer
Simu­la­ti­on einer sym­me­tri­schen Last an einer asym­me­tri­schen Span­nungs­quel­le mit Symmetrierer

In die­ser Simu­la­ti­on wird ein Strom­trans­for­ma­tor ver­wen­det. Bei­de Wick­lun­gen, L1 und L2, sol­len eine Induk­ti­vi­tät von jeweils 500 µH haben. Die Spi­ce-Anwei­sung „K1 L1 L2 1“ besagt, daß die Spu­len L1 und L2 maxi­mal gekop­pelt sind. Der letz­te Para­me­ter kann zwi­schen 0 und 1 lie­gen. Hier ist also eine idea­ler Tra­fo simu­liert, den es so in der Pra­xis nicht gibt.

Die Simu­la­ti­on zeigt, daß die Sum­me der Strö­me in R4 und R5 gegen null geht. Die Man­tel­wel­le wur­de also erheb­lich gedämpft, die Lei­stung an R1 und R2 ist gleich­ge­blie­ben. Mecha­nisch ist ein Strom­trans­for­ma­tor sehr ein­fach zu rea­li­sie­ren, zum Bei­spiel indem man eini­ge Win­dun­gen Koaxi­al­ka­bel auf einem Ring­kern auf­wickelt (Rei­sert Balun).

Statt eines Strom­trans­for­ma­tors kann aber auch ein „klas­si­scher“ Span­nungs­trans­for­ma­tor ein­ge­setzt werden:

Symmetrierung mit Spannungsübertrager
Sym­me­trie­rung mit Spannungsübertrager

Das führt letzt­lich zu dem­sel­ben Ergeb­nis, daß die Man­tel­wel­len erheb­lich redu­ziert wer­den. Die­se Bau­art hat den zusätz­li­chen Vor­teil einer Poten­ti­al­tren­nung, dafür aber gege­be­nen­falls den Nach­teil, bei nied­ri­gen Fre­quen­zen einen Kurz­schluß darzustellen.

Mes­sung von Mantelwellen

Man­tel­wel­len las­sen sich durch eine recht ein­fa­che Mes­sung nach­wei­sen und zumin­dest qua­li­ta­tiv ver­glei­chen: man baut einen Strom­meß­tra­fo um das Spei­se­ka­bel her­um. Dazu eig­net sich ein mit eini­gen Win­dun­gen bewickel­ter Ring­kern, der über das Koaxi­al­ka­bel gescho­ben wird. Innen- und Außen­lei­ter des Koax­ka­bels stel­len die Pri­mär­wick­lung eines Trans­for­ma­tors dar, der Ring­kern die Sekun­där­wick­lung. Wenn die Strö­me auf dem Innen­lei­ter und dem Außen­lei­ter des Koax­ka­bels ent­ge­gen­ge­setzt flie­ßen und gleich groß sind, wird in der Meß­spu­le kei­ne Span­nung indu­ziert. Ist einer die­ser Strö­me grö­ßer als der ande­re, dann ist die indu­zier­te Span­nung pro­por­tio­nal zu die­sem über­schüs­si­gen Strom. Man kann die­se Span­nung gleich­rich­ten und mit einem Volt­me­ter nach­wei­sen. Hier eine ein­fa­che Schal­tung zu die­sem Zweck:

Messung von Mantelwellen
Mes­sung von Mantelwellen

An J1 wird die Meß­spu­le ange­schlos­sen, an J2 und J3 das Volt­me­ter. Als Dioden wer­den wegen der nied­ri­ge­ren Durch­bruch­span­nung nor­ma­ler­wei­se Ger­ma­ni­um­di­oden ver­wen­det. Schott­ky­di­oden oder Sili­zi­um­di­oden funk­tio­nie­ren auch, man stellt ja nor­ma­ler­wei­se kei­ne hohen Ansprü­che an die Meßgenauigkeit.

Die­se Meß­schal­tung lässt sich nun auch mit Spi­ce simulieren.

Mantelwellenmessung
Man­tel­wel­len­mes­sung

Um die Rechen­zeit und die Anzahl der Daten­punk­te in Gren­zen zu hal­ten, wur­de nur bis zu 500 ms simu­liert und die zeit­li­che Auf­lö­sung auf 1µs gesetzt. Die bei­den Lei­ter des Koax­ka­bels wur­den will­kür­lich (aber nicht ganz unrea­li­stisch) mit jeweils 50nH ange­setzt (L4 und L5), die Meß­spu­le L3 mit 10µH. Alle Spu­len sind wie­der ide­al gekop­pelt (Spi­ce Direk­ti­ve K2). Da LTSpi­ce kei­ne Ger­ma­ni­um­di­ode im Bau­ka­sten hat, wur­de die­se Simu­la­ti­on mit Schott­ky­di­oden durchgeführt.

Phy­si­ka­li­sche Eigen­schaf­ten, überarbeitet

Die hier beschrie­be­ne Libre­Of­fice Tabel­le habe ich nun etwas über­ar­bei­tet. Ich habe die Struk­tur grund­le­gend geän­dert und die Berech­nung um den Skin-Effekt erwei­tert. Man kann also jetzt auch den Wider­stand eines Lei­ters bei Anle­gen einer Wech­sel­span­nung bestim­men. Das funk­tio­niert nur ange­nä­hert und auch nur bei den Mate­ria­li­en, für die die magne­ti­sche Per­mea­bi­li­tät ver­füg­bar war. Die neue Tabel­le kann hier her­un­ter­ge­la­den werden:

Ich den­ke daß die Tabel­le selbst­er­klä­rend ist. Nur die grün hin­ter­leg­ten Fel­der müs­sen aus­ge­füllt wer­den. Man wählt das Lei­ter­ma­te­ri­al in B3 und den Quer­schnitt in B4. Wie in der alten Ver­si­on kann man Draht (rund), Rohr (rund und hohl) oder Lei­ter­band (recht­eckig) aus­wäh­len. Dann gibt man die Fre­quenz, die Tem­pe­ra­tur, die Strom­stär­ke (optio­nal) und die Dimen­sio­nen an. Dar­un­ter wer­den eini­ge Zwi­schen­er­geb­nis­se ange­zeigt, die man nor­ma­ler­wei­se nicht braucht, die aber zu Kon­troll­zwecken nütz­lich sein kön­nen. Die Ergeb­nis­se ste­hen dann in den Zel­len E3 bis I3.

Alles wie immer ohne Gewähr. Wer Feh­ler fin­det, möge sie mir bit­te mit­tei­len und ich wer­de mich um Kor­rek­tur bemühen.

Phy­si­ka­li­sche Eigen­schaf­ten (Mas­se, Wider­stand, Aus­deh­nung) ver­schie­de­ner Werkstoffe

Bei so unter­schied­li­chen Din­gen wie dem Bau einer Kurz­wel­len­an­ten­ne und beim Auf­bau eines Trep­pen- bzw. Ter­ras­sen­ge­län­ders kam bei mir immer wie­der die Fra­ge auf, was denn nun ein 1,10 m lan­ger Edel­stahl­pfo­sten oder ein 18,55 m lan­ger Anten­nen­draht aus 2 mm dickem Alu­mi­ni­um­draht wiegt und auch wel­chen ohm­schen Wider­stand das Teil hat. Auch die Fra­ge, ob man ein 5 m lan­ges Edel­stahl­rohr mit 42,2 mm Außen­durch­mes­ser und 2 mm dicker Wand eher tra­gen kann, als ein gleich­lan­ges Alu­mi­ni­um­rohr mit 5 mm dicker Wand, ist für die Instal­la­ti­on als Anten­nen­mast nicht ganz uner­heb­lich. Wenn man an die Erdung des Roh­res denkt, ist auch sein elek­tri­scher Wider­stand nicht ver­nach­läs­sig­bar, denn gera­de Edel­stahl ist ja als rela­tiv schlech­ter Lei­ter bekannt. Auch die Fra­ge, ob ein im Som­mer bei 38°C abge­stimm­ter Anten­nen­draht auch bei ‑10°C im Win­ter noch hin­rei­chend reso­nant ist, soll­te zumin­dest mal unter­sucht werden.

Nach­dem ich dann mehr­fach die jewei­li­gen Mate­ri­al­pa­ra­me­ter (spe­zi­fi­sche Mas­se, spe­zi­fi­scher Wider­stand, Tem­pe­ra­tur­ko­ef­fi­zi­ent des­sel­ben, Aus­deh­nungs­ko­ef­fi­zi­ent) im Inter­net zusam­men­ge­sucht und die Wer­te mit dem Taschen­rech­ner aus­ge­rech­net habe, war es an der Zeit, ein pas­sen­des Libre­Of­fice Spreadsheet dafür zu erstel­len. Hier ist es:

Die Tabel­le „Eigen­schaf­ten“ ent­hält die aus dem Inter­net gesam­mel­ten Mate­ri­al­pa­ra­me­ter. Bei den jewei­li­gen Wer­ten ist eine gewis­se Vor­sicht von­nö­ten. Die Wer­te für che­misch rei­ne Mate­ria­li­en dürf­ten ziem­lich gut bekannt sein und nur gering­fü­gig vom tat­säch­li­chen Wert abwei­chen. Legie­run­gen wie z.B. Edel­stahl oder Kon­stantan, aber auch Kup­fer­ka­bel oder Alu­mi­ni­um kön­nen grö­ße­re Abwei­chun­gen haben, weil ihre genaue Zusam­men­set­zung schwankt. Die Ergeb­nis­se soll­ten für Aller­welts­an­wen­dun­gen hin­rei­chend genau sein, wer es genau­er haben muß, soll­te sich jedoch das Daten­blatt des jewei­li­gen Her­stel­lers besorgen.

Das Spreadsheet ent­hält auch noch eini­ge Nicht­lei­ter wie Kunst­stof­fe und Glas. Dabei ging es natür­lich nicht um deren elek­tri­schen Wider­stand, son­dern um die Mas­se und ggf. den Aus­deh­nungs­ko­ef­fi­zi­en­ten. Wegen der unter­schied­li­chen Zusam­men­set­zung schwan­ken auch hier die Anga­ben ziem­lich stark. Oft sind Mini­mum- und Maxi­mum­wer­te ange­ge­ben. Auch die elek­tri­schen Wider­stän­de habe ich (spa­ßes­hal­ber) erfasst, wenn Wer­te dafür zu fin­den waren. Sie schwan­ken oft um meh­re­re Zeh­ner­po­ten­zen und haben daher kei­ne prak­ti­sche Rele­vanz. Dafür habe ich „min“ und „max“ Spal­ten ein­ge­führt und dar­aus den Mit­tel­wert errech­net, der dann für die Berech­nun­gen benutzt wird.

Die eigent­li­chen Berech­nun­gen fin­den in der gleich­na­mi­gen Tabel­le statt. Dort wählt man zunächst in Zel­le A2 das Mate­ri­al aus, in Spal­te C soll­ten dann die dazu­ge­hö­ri­gen phy­si­ka­li­schen Para­me­ter erschei­nen. Abhän­gig von der Kon­tur des Quer­schnitts wird dann in Zei­le 2, 5 oder 8 wei­ter­ge­ar­bei­tet und in der dazu­ge­hö­ri­gen Spal­te E wird jeweils die Län­ge des Werk­stücks in Mil­li­me­ter ange­ge­ben. Zei­le 2 gilt für recht­ecki­ge Quer­schnitt und die Brei­te und Dicke wird in Spal­ten F und G ange­ge­ben. Für run­des Voll­ma­te­ri­al (Draht, Kabel oder Stab) wird Zei­le 5 benutzt. Die Quer­schnitts­flä­che (nicht der Durch­mes­ser!) wird in die­sem Fall direkt in Spal­te H ange­ge­ben. Für Roh­re wird Zei­le 8 benutzt, wobei der Außen­durch­mes­ser und die Wand­stär­ke in den Spal­ten F und G ange­ge­ben wer­den. Falls nicht in Zei­le 5 direkt ange­ge­ben, wird in Spal­te H der jewei­li­ge Quer­schnitt errech­net. Spal­te J zeigt nun den elek­tri­schen Wider­stand in mΩ an, ggf. abhän­gig von der in Spal­te I gewähl­ten Tem­pe­ra­tur. Wählt man in Spal­te K eine Strom­stär­ke, so wird in Spal­te L der Span­nungs­ab­fall und in Spal­te M die dabei ver­heiz­te Lei­stung angezeigt.

Spal­te M zeigt die gesam­te Mas­se des Werk­stücks an und Spal­te N die Län­gen­än­de­rung bei der gewähl­ten Tem­pe­ra­tur gegen­über 20°C.

Bei­spiel­an­wen­dun­gen:

1.) ein 18,55 m lan­ger Alu­mi­ni­um­draht mit 2 mm Durch­mes­ser wiegt 158 g und hat einen Wider­stand von 156 mΩ. Ein alter­na­ti­ver Draht aus Stahl­lit­ze von 1,6 mm Durch­mes­ser wiegt 354 g und hat einen ohm­schen Wider­stand von 1,384 Ω. Ein sol­cher Draht wur­de zum Bau einer Kurz­wel­len­an­ten­ne ver­wen­det. Ich habe mich für den Aludraht ent­schie­den, weil er leich­ter ist und nur ein zehn­tel des elek­tri­schen Wider­stan­des der Lit­ze hat.

2.) ein 1 m lan­ges Edel­stahl­rohr mit 42,4 mm Durch­mes­ser und einer Wand­stär­ke von 2 mm wiegt ziem­lich genau 2 kg. Sol­che Roh­re wer­den zuhauf für den Bau von Edel­stahl­ge­län­dern verwendet.

Noch ein Hin­weis: die Tabel­le ist geschützt (ohne Pass­wort), so daß man nicht ver­se­hent­lich die Fel­der ändert, die nor­ma­ler­wei­se nicht geän­dert wer­den sol­len. Die unge­schütz­ten Ein­ga­be­fel­der sind gelb hin­ter­legt. Sol­len ande­re Fel­der geän­dert wer­den, muß die Tabel­le zunächst frei­ge­ge­ben wer­den (bei Libre­Of­fice: Extras, Tabel­le schützen).

2020_12_30: Hier gibt es eine neue Ver­si­on.