SWV-Mess­brücken

Mein näch­ster Anten­nen­tu­ner soll das Steh­wel­len­ver­hält­nis mes­sen kön­nen, also muss­te ich mich mal etwas inten­si­ver mit den übli­chen Mess­ver­fah­ren aus­ein­an­der­set­zen. Ich gebe offen zu, daß ein Steh­wel­len­mess­ge­rät für mich immer etwas sehr myste­riö­ses war. Wie kann man ste­hen­de Wel­len mit einem Gerät mes­sen, das deut­lich klei­ner ist, als die Wel­len­län­ge, die es misst? Und noch viel myste­riö­ser: wie unter­schei­det man, in wel­che Rich­tung eine Wel­le läuft? Schließ­lich zeigt das Steh­wel­len­mess­ge­rät doch angeb­lich das Ver­hält­nis der maxi­ma­len zur mini­ma­len Span­nung auf der Lei­tung an, das sich aus dem Refle­xi­ons­fak­tor, dem Ver­hält­nis aus rück­lau­fen­der zu vor­lau­fen­der Span­nung ergibt. Oder doch nicht?

Ein Arti­kel Tho­mas, DC7GB im Funk­ama­teur1 kam zur rich­ti­gen Zeit. Hier wird das gro­ße Geheim­nis gelüf­tet und ich hab’s ja schon immer geahnt: ein Steh­wel­len­mess­ge­rät misst weder ste­hen­de Wel­len noch vor­lau­fen­de oder rück­lau­fen­de Spannung.

Kur­zer Ein­schub: Der Autor legt gro­ßen Wert auf die Fest­stel­lung, daß ent­ge­gen der übli­chen Legen­de kei­ne Lei­stung hin- und her­läuft, son­dern Ener­gie. Lei­stung wird durch Ener­gie an einem Ort ver­rich­tet, bei­spiels­wei­se an der Last, indem dort Ener­gie umge­wan­delt wird. Als Phy­si­ker gebe ich ihm völ­lig recht und dan­ke für die Klarstellung.

Als Maß für die Lei­stung wird die Span­nung ver­wen­det, die bei gleich­blei­ben­der Impe­danz pro­por­tio­nal zur Ener­gie ist. Sie hat den Vor­teil, deut­lich anschau­li­cher und leich­ter mess­bar zu sein. Daher wird nach­fol­gend von vor- und rück­lau­fen­der Span­nung die Rede sein.

Der Sont­hei­mer-Fre­de­rick Richtkoppler

Rein­hard, DC5ZM, erklärt in einem wei­te­ren Arti­kel im Funk­ama­teur2 die Funk­ti­ons­wei­se eines Steh­wel­len­mess­ge­räts am Bei­spiel eines Sont­hei­mer-Fre­de­rick Richtkopplers.

Der Richt­kopp­ler misst schlicht­weg die Anpas­sung an die Last, genau­er gesagt, die Span­nung an der Last und die Strom­stär­ke durch die Last. Wenn die Last den gewünsch­ten reel­len Abschluss­wi­der­stand hat, dann heben sich bei­de Mess­wer­te unab­hän­gig von der ein­ge­spei­sten Lei­stung auf und dar­aus folgt, daß der rück­lau­fen­de Anteil und damit der Refle­xi­ons­fak­tor Γ null ist. Das Steh­wel­len­ver­hält­nis ist eins.

Schal­tung des Richtkopplers

Für die Simu­la­ti­on soll die von DC5ZM gezeig­te Schal­tung ver­wen­det werden:

Sie ist m.E. wegen der mit­tel­an­ge­zapf­ten Sekun­där­spu­le des Strom­über­tra­gers anschau­li­cher, als die wei­ter unten gezeig­te Alter­na­tiv­lö­sung. Hier ist die LTSpi­ce Datei.

Funk­ti­ons­wei­se

Der Sont­hei­mer-Fre­de­rick Richt­kopp­ler besteht aus zwei Trans­for­ma­to­ren, näm­lich L13 (L1-L2-L3) und L45 (L4-L5). L13 ist ein Strom­trans­for­ma­tor mit der Sekun­där­wick­lung L23, die eine Mit­tel­an­zap­fung hat. Hier wird ein Strom indu­ziert, der pro­por­tio­nal zu dem durch L1 und die Last R4 flie­ßen­den Strom ist. L45 trans­for­miert die Span­nung ULast im glei­chen Ver­hält­nis wie L13 auf sei­ne Sekun­där­spu­le L4. Die Mit­te von L23 wird um die trans­for­mier­te Span­nung an der Last ange­ho­ben, wäh­rend durch R1 und R2 der trans­for­mier­te Last­strom fließt. Da R1 und R2 den­sel­ben Wider­stand haben, wie die Last, heben sich am Kno­ten UR bei­de Span­nun­gen auf, wäh­rend sie sich an UF ver­dop­peln. Weicht der Last­wi­der­stand von 50 Ω ab, dann wird ent­we­der die gemes­se­ne Strom­stär­ke oder die Span­nung grö­ßer und UR wird ungleich null. DC5ZM zeigt in sei­nem Bei­trag, daß das Ver­hält­nis von UR zu UF tat­säch­lich dem Refle­xi­ons­fak­tor ent­spricht, aus dem sich das Steh­wel­len­ver­hält­nis errech­nen lässt (sie­he Anhang).

Auch die Pha­sen­ver­schie­bung zwi­schen Strom und Span­nung ist prin­zi­pi­ell mess­bar. Sie geht bei den übli­chen Steh­wel­len­mess­ge­rä­ten aller­dings durch die Gleich­rich­tung von UR und UF an einer Diode verloren.

Simu­la­ti­on mit LTspice

Der Richt­kopp­ler soll nun mit der oben gezeig­ten Schal­tung simu­liert wer­den. Spi­ce kennt bei der Simu­la­ti­on von Trans­for­ma­to­ren kei­ne Win­dungs­zah­len. Daher kann man das Über­tra­gungs­ver­hält­nis nicht direkt ange­ben. Es ergibt sich aber aus der Qua­drat­wur­zel des Induk­ti­vi­täts­ver­hält­nis­ses. Hier wur­de für L45 1 mH zu 400 nH gewählt, also ein Fak­tor von 2.500, was einem Über­tra­gungs­ver­hält­nis von 50:1 ent­spricht. L2 und L3 haben jeweils nur 250 µH, sind aber auf dem glei­chen Kern gewickelt und haben daher zusam­men auch 1 mH, also das­sel­be Über­tra­gungs­ver­hält­nis wie L45.

Die Kop­pel­fak­to­ren sind mit „K1 L1 L2 L3 1“ und „K2 L4 L5 1“ als ide­al ange­nom­men, damit „Dreck­ef­fek­te“ nicht das Ver­ständ­nis stö­ren. Für einen prak­tisch auf­ge­bau­ten Kopp­ler wird man hier eher 0.9 statt 1 wählen. 

L1 und L4 bestehen gewöhn­lich nur aus einem Stück Draht, also einer ein­zi­gen Win­dung. L23 und L5 wer­den als Ring­kern­spu­le dar­über gescho­ben. Sie hät­ten in der hier gezeig­ten Dimen­sio­nie­rung also 50 Win­dun­gen. Die Induk­ti­vi­tät der Ring­kern­spu­le eines prak­ti­schen Auf­baus liegt wegen ihres Fer­rit­kerns tat­säch­lich im Millihenry-Bereich.

Prak­ti­sche Bei­spie­le mit Fotos fin­det man bei­spiels­wei­se bei DJ0ABR hier und hier oder auch in einem Arti­kel von DF1RN im CQ DL3.

Simu­la­ti­ons­er­geb­nis­se für aus­ge­wähl­te Lastwiderstände

Schau­en wir uns zunächst den Fall der idea­len Anpas­sung an, R4 hat 50 Ω.

V(uf) ist die vor­lau­fen­de Span­nung am Mess­punkt UF, V(ur) ist die rück­lau­fen­de Span­nung an UR, jeweils gegen Mas­se gemes­sen. Der Refle­xi­ons­fak­tor ist null und das Steh­wel­len­ver­hält­nis ist eins.

Bei Fehl­an­pas­sung ändern sich die Ver­hält­nis­se. Hier ist der Last­wi­der­stand auf 10 Ω reduziert:

Jetzt wird UR grö­ßer null und ist gegen­pha­sig zu UF. Rech­nen wir der Ein­fach­heit hal­ber mit den Spit­zen­span­nun­gen, dann ist UF jetzt 200 mV und UR 133 mV. Der Refle­xi­ons­fak­tor ist nun 0,667 und das Steh­wel­len­ver­hält­nis ist 5.

Bei einem Last­wi­der­stand von 150 Ω dre­hen sich die Pha­sen­ver­hält­nis­se um:

Jetzt ist die rück­lau­fen­de Wel­le gleich­pha­sig zur vor­lau­fen­den Wel­le. Der Refle­xi­ons­fak­tor ist mit UF=200 mV und UR=100 mV 0,5 und das Steh­wel­len­ver­hält­nis ist 3.

Da Spi­ce nicht gut auf ech­te Kurz­schlüs­sen und ech­te offe­ne Lasten zu spre­chen ist, nähern wir sie mit 0,1 Ω und 100 kΩ an.

Beim kurz­ge­schlos­se­nen Ende wird die Span­nung gegen­pha­sig zu 100% reflek­tiert, der Refle­xi­ons­fak­tor ist also 1. Damit wird das SWR unendlich.

Bei offe­nem Ende wird die vor­lau­fen­de Span­nung eben­falls zu 100% reflek­tiert, dies­mal aller­dings gleich­pha­sig. Das führt zum glei­chen Ergeb­nis, der Refle­xi­ons­fak­tor ist 1 und das Steh­wel­len­ver­hält­nis wird wie­der unendlich.

Alter­na­ti­ve Schaltung

Hier das alter­na­ti­ve Schalt­bild des Sont­hei­mer-Fre­de­rick Richtkopplers:

Die Funk­ti­ons­wei­se ist etwas schwie­ri­ger zu durch­schau­en, aber die­sel­be wie die der oben gezeig­ten und simu­lier­ten Ver­si­on. Wegen der feh­len­den Mit­ten­an­zap­fung an der Spu­le L2 ist sie beim rea­len Auf­bau etwas ein­fa­cher zu realisieren.

Anhang

Hier folgt eine kur­ze Zusam­men­fas­sung der in die­sem Arti­kel ver­wen­de­ten Grundlagen.

Eine Über­tra­gungs­lei­tung hat eine cha­rak­te­ri­sti­sche Impe­danz Z0, im Ama­teur­funk in der Regel 50 Ω, in der Radio- und Fern­seh­tech­nik 75 Ω. Wenn die Last ZL am Ende der Lei­tung die­sel­be Impe­danz hat, wird die an der Quel­le ein­ge­spei­ste Span­nung kom­plett in der Last umge­wan­delt bzw. abge­strahlt. Weicht die Impe­danz der Last von der Impe­danz der Lei­tung ab, wird ein Teil der Span­nung reflek­tiert. Der Refle­xi­ons­fak­tor r, oft auch mit dem grie­chi­schen Buch­sta­ben Γ (Gam­ma) bezeich­net, ist das Maß dafür:

UF (for­ward) ist die vor­lau­fen­de, UR (rever­se) die rück­lau­fen­de Span­nung. Der Betrag der rück­lau­fen­den Span­nung ist immer klei­ner oder gleich der vor­lau­fen­den Span­nung. Bei einem offe­nen Kabel­en­de hat sie das­sel­be Vor­zei­chen, wie die hin­lau­fen­de Span­nung, bei einem kurz­ge­schlos­se­nen Kabel aber ein nega­ti­ves Vor­zei­chen. Der Refle­xi­ons­fak­tor kann damit zwi­schen ‑1 und +1 lie­gen. Bei idea­ler Anpas­sung ist r = 0.

Der Refle­xi­ons­fak­tor kann auch direkt aus den Impe­dan­zen berech­net werden:

Hier erkennt man, daß der Refle­xi­ons­fak­tor tat­säch­lich eine kom­ple­xe Grö­ße ist.

Hin- und rück­lau­fen­de Span­nun­gen über­la­gern sich auf der Über­tra­gungs­lei­tung, so daß Orte unter­schied­li­cher Span­nun­gen ent­ste­hen, soge­nann­te ste­hen­de Wel­len. Das Steh­wel­len­ver­hält­nis ist als das Ver­hält­nis der maxi­ma­len Span­nung zur mini­ma­les Span­nung definiert:

Mit UR = r * UF kann man die­se Glei­chung umformen:

Refe­ren­zen

  1. Tho­mas Schil­ler, DC7GB, Wie funk­tio­nie­ren Richt­kopp­ler und SWV-Mess­brücken?, Funk­ama­teur 12|23, Sei­te 967ff ↩︎
  2. Rein­hard Weber, DC5ZM, AI6PK, Was misst ein Steh­wel­len­mess­ge­rät?, Funk­ama­teur 6|20, Sei­te 513 ↩︎
  3. Prof. Dr. Rein­hard Noll, DF1RN, Kenn­grö­ßen eines Richt­kopp­lers, CQ DL 10|2017, Sei­te 30ff ↩︎

Dimen­sio­nie­rung der Bau­tei­le für einen Antennentuner

Vor dem Bau eines Anten­nen­tu­n­ers muß man sich zumin­dest über die fol­gen­den Zie­le klarwerden:

  • Wel­cher Fre­quenz­be­reich soll abge­deckt werden?
  • In wel­chem Bereich lie­gen die Lastwiderstände?
  • Wel­che maxi­ma­le Lei­stung soll über­tra­gen werden?
  • Wo sind gege­be­nen­falls Kom­pro­mis­se möglich?

Da stellt sich dann sofort die Gegen­fra­ge: was ist denn über­haupt mit rea­li­sti­schem Auf­wand mög­lich und wo lie­gen die Gren­zen? Gäbe es kei­ne, wür­de man natür­lich alles wollen.

Ein wei­te­res Calc Spreadsheet

Nach einer Idee von Jeff, K6JCA, habe ich das hier vor­ge­stell­te Libre­Of­fice Calc Spreadsheet so erwei­tert, daß es die Anpaß­glie­der für meh­re­re Punk­te auf dem Kreis glei­cher Steh­wel­len­ver­hält­nis­se berech­net. Das neue Spreadsheet kann hier her­un­ter­ge­la­den werden:

In der hier gezeig­ten Ver­si­on wer­den 72 Last­im­pe­dan­zen im Abstand von 5° berech­net. Das erscheint mehr als aus­rei­chend. Dabei ist zu beden­ken, daß nicht alle die­se errech­ne­ten Punk­te prak­tisch rele­vant sind. Die von mir geplan­ten ein­fa­chen end­ge­spei­sten Draht­an­ten­nen haben hoch­oh­mi­ge Impe­dan­zen, die alle zwi­schen etwa 310° und 30° lie­gen, wie die nach­fol­gen­de Mes­sung von 1 bis 30 MHz zeigt.

Die gestri­chel­ten Krei­se stel­len die Steh­wel­len­ver­hält­nis­se von 3, 10, 20 und 30 dar. In gewis­sen Gren­zen kann man sich ent­schei­den, ob der Tuner alle Steh­wel­len­ver­hält­nis­se inner­halb eines vor­ge­ge­be­nen Krei­ses abdecken soll oder ob man bei­spiels­wei­se auf Kosten der lin­ken Hälf­te zwi­schen 90° und 270° das Steh­wel­len­ver­hält­nis auf der ande­ren Sei­te erweitert.

Benut­zung des Spreadsheets

Para­me­ter

Auf der ersten Sei­te mit dem Namen „Para­me­ter“ wer­den in den gelb hin­ter­leg­ten Zel­len die Para­me­ter für die aktu­el­le Berech­nung ein­ge­ge­ben. Alle ande­ren Zel­len und Sei­ten sind (natür­lich ohne Pass­wort) geschützt, um Fehl­ein­ga­ben zu ver­mei­den. Mit einem rech­ten Maus­klick auf den Tab und dem Befehl „Tabel­le schüt­zen…“ wir der Schutz ent­fernt oder wie­der hergestellt.

In der Zel­le RGen wird der Gene­ra­tor­wi­der­stand ein­ge­ge­ben. Das sind nor­ma­ler­wei­se 50 Ω und es ist ein reel­ler Wert.

In der Zel­le SWR gibt man das maxi­ma­le Steh­wel­len­ver­hält­nis an, das der Tuner noch anpas­sen kön­nen soll. Hier kann man expe­ri­men­tie­ren. Je höher die­ses SWR ist, umso grö­ße­re Bau­tei­le wird man benö­ti­gen. Irgend­wann über­schrei­tet man den prak­tisch mach­ba­ren Bereich. Wie oben beschrie­ben, kann man hier etwas wei­ter gehen, wenn man Ein­schrän­kun­gen im Polar­dia­gramm akzep­tie­ren kann.

Fre­quenz legt die Fre­quenz fest, für die die Anpas­sung aktu­ell berech­net wird.

P bestimmt die ver­wen­de­te Aus­gangs­lei­stung. Dar­aus wird die Spit­zen­span­nung am Anpaß­kon­den­sa­tor bestimmt, der ent­spre­chend dimen­sio­niert sein muß.

L(C) gibt die para­si­tä­re Induk­ti­vi­tät des Kon­den­sa­tors an. Das ist sicher­lich ein Schätz­wert, solan­ge man den Tuner nicht wirk­lich auf­ge­baut hat. Aus die­ser para­si­tä­ren Induk­ti­vi­tät errech­net sich die kapa­zi­täts­ab­hän­gi­ge Selbst­re­so­nanz­fre­quenz (SRF). Ab und ober­halb die­ser Fre­quenz wird der Kon­den­sa­tor zu einem induk­ti­ven Bau­ele­ment und er ist nicht mehr zur Anpas­sung zu gebrau­chen. Die SRF ist die natür­li­che Gren­ze für die Brauch­bar­keit des Tuners.

Die Zel­len ω und |Γ| (bzw. |Gam­ma|) sind geschützt. Sie wer­den aus dem SWR und der Fre­quenz berech­net. Die­se Wer­te wer­den in den For­meln auf den ande­ren Sei­ten verwendet.

Tuner

Die Berech­nung der Last­im­pe­dan­zen und die Anzei­ge der Anpaß­glie­der erfolgt auf der Sei­te „Tuner“. Jede Zei­le steht für einen Wert im Abstand von 5° auf dem gewähl­ten SWR-Kreis. RL und XL sind die jewei­li­gen Wirk- und Blind­wi­der­stän­de und die Spal­te Netz­werk zeigt die gewähl­te Kon­fi­gu­ra­ti­on, ent­we­der „LC“ oder „CL“. Die zur Anpas­sung nöti­gen Kapa­zi­tä­ten und Induk­ti­vi­tä­ten ste­hen in den Spal­ten C und L.

In der Spal­te Uma­xC wird die Spit­zen­span­nung am Kon­den­sa­tor errech­net, die bei der vor­her gewähl­ten Lei­stung anliegt. Die Spal­te SRF zeigt den Abstand zur Selbst­re­so­nanz­fre­quenz bei der errech­ne­ten Kapa­zi­tät. 100% bedeu­tet, daß die SRF erreicht ist und ein Wert unter 100%, daß die SRF über­schrit­ten ist. Der Tuner ist in die­ser Kon­fi­gu­ra­ti­on nicht mehr benutz­bar. Der Wert soll­te also deut­lich über 100% liegen.

Oben rechts in die­ser Tabel­le wer­den noch die Maxi­mal­wer­te für die Kapa­zi­tät, die Induk­ti­vi­tät und die Span­nung ange­zeigt. Der Mini­mal­wert für die SRF zeigt an, ob zumin­dest eini­ge der Last­im­pe­dan­zen nicht mehr anpass­bar sind.

LC und CL

Die eigent­li­che Berech­nung erfolgt auf den Sei­ten „LC“ und „CL“. Auf die­sen Sei­ten kann man den Rechen­weg nach­ver­fol­gen, anson­sten muß man sich nicht dar­um küm­mern. Der Rechen­weg ist in dem vori­gen Bei­trag zu die­sem The­ma beschrie­ben. Die Sei­ten über­neh­men die anzu­pas­sen­de Last­im­pe­danz von der Sei­te „Tuner“ und lie­fern die Ergeb­nis­se auch wie­der dort­hin zurück.

Es soll nicht uner­wähnt blei­ben, daß auf die­sen Sei­ten ein wenig getrickst wur­de, um Feh­ler abzu­fan­gen. Wenn ein Nen­ner null wird, kommt es zu einem Divi­si­ons­feh­ler. Das wird abge­fan­gen, indem statt des Quo­ti­en­ten eine gro­ße Zahl ver­wen­det wird. Das wie­der­um führt zu Ergeb­nis­sen wie 0,01 pF statt 0 pF. In einem Pro­gramm wür­de man das anders lösen, aber im Spreadsheet scheint das der ein­fach­ste Weg zu sein.

Anten­nen­an­pas­sung mit LibreOffice

Anten­nen­an­pass­glie­der sind in der Regel ein­fa­che LC- oder CL-Tief­päs­se, mit denen der in der Regel reel­le Aus­gangs­wi­der­stand eines Gene­ra­tors an eine in Gren­zen belie­bi­ge kom­ple­xe Last­im­pe­danz ange­passt wird. Die­se Anpas­sung ist schmal­ban­dig, sie gilt genau­ge­nom­men nur für eine ein­zi­ge Frequenz.

CL-Tiefpass
CL-Tief­pass

Der CL-Tief­pass hat einen Kon­den­sa­tor par­al­lel zum Gene­ra­tor und eine Spu­le in Serie zur Last.

LC-Tiefpass
LC-Tief­pass

Der LC-Tief­pass hat eine Spu­le in Serie zum Gene­ra­tor und einen Kon­den­sa­tor par­al­lel zur Last. Anpass­glie­der las­sen sich auch als Hoch­pass kon­fi­gu­rie­ren, Tief­päs­se wer­den aber wegen der Unter­drückung har­mo­ni­scher Fre­quen­zen bevorzugt.

Die benö­tig­ten Kapa­zi­tä­ten und Induk­ti­vi­tä­ten für Anpass­glie­der die­ser Art wer­den seit Jahr­zehn­ten mit Hil­fe des Smith-Dia­gramms gra­phisch bestimmt. Anfangs geschah das auf Papier, aber inzwi­schen gibt es ele­gan­te Lösun­gen für einen PC. „Smith“ von Fritz Dell­sper­ger sei hier genannt, das aller­dings in der kosten­lo­sen Demo­ver­si­on eini­ge Limi­tie­run­gen auf­weist. Für vie­le ein­fa­che Berech­nun­gen ist es den­noch gut ver­wend­bar. Ich ver­wen­de aber seit eini­gen Jah­ren lie­ber das eben­falls kosten­lo­se und funk­tio­nal unbe­schränk­te SimS­mith. Es hat zudem eine deut­lich erwei­ter­te Funk­tio­na­li­tät, was frei­lich die Bedie­nung etwas schwie­ri­ger macht. Die­ser Bei­trag zeigt, wie man zumin­dest die gezeig­ten ein­fa­chen Anpass­glie­der auch mit Libre­Of­fice Calc berech­nen kann.

Kom­ple­xe Zah­len in Calc

Calc unter­stützt das Rech­nen mit kom­ple­xen Zah­len, wie es für die Berech­nung von Impe­dan­zen not­wen­dig ist. Das geht lei­der nicht direkt mit den mathe­ma­ti­schen Ope­ra­to­ren +, -, * und /, son­dern ist über Funk­tio­nen imple­men­tiert. Hier nun eine kur­ze Auf­li­stung der nach­fol­gend benö­tig­ten Funk­tio­nen. Wie üblich wer­den kom­ple­xe Zah­len durch einen Unter­strich gekennzeichnet.

KOMPLEXE(Realteil;Imaginärteil;"j")
Erzeugt eine komplexe Zahl mit dem angegebenen Realteil und Imaginärteil. Als imaginäre Einheit wird "j" gewählt, auch "i" wäre möglich.

IMREALTEIL(I)
Gibt den Realteil der komplexen Zahl I zurück.

IMAGINÄRTEIL(I)
Gibt den Imaginärteil der komplexen Zahl I zurück.

IMSUMME(I1;I2), IMSUB(I1;I2), IMDIV(I1;I2), IMPRODUKT(I1;I2)
Bildet die Summe, die Differenz, den Quotienten oder das Produkt zweier komplexer Zahlen.

Vie­le wei­te­re Funk­tio­nen für kom­ple­xe Zah­len wer­den unter­stützt. Im Menü­punkt Ein­fü­gen, Funk­ti­on (Ctrl-F2) wer­den sie ange­bo­ten. Für Details kon­sul­tie­re man die Libre­Of­fice-Hil­fe oder das Internet.

Kon­ven­tio­nen bei der kom­ple­xen Wechselstromrechnung

Hier eine kur­ze Auf­li­stung der nach­fol­gend ein­ge­hal­te­nen Kon­ven­tio­nen bei den Bezeichnungen.

j = Wurzel(-1)
ist die imaginäre Einheit. Um Verwechslungen mit der Stromstärke zu vermeiden, wird die imaginäre Einheit in der Elektrotechnik üblicherweise mit "j" statt mit "i" gekennzeichnet.

R
ist der reelle Wirkwiderstand.

X
ist der Blindwiderstand. Auch X ist eine reelle Zahl.

Z = R + jX
ist die komplexe Impedanz.

G
ist der reelle Wirkleitwert, auch Konduktanz genannt.

B
ist der Blindleitwert, auch Suszeptanz genannt. So wie X ist auch B eine reelle Zahl.

Y = G + jB = 1 / Z
ist der komplexe Leitwert, der auch Admittanz genannt wird.

Nachfolgend werden die Impedanzen und Admittanzen des Generators mit Gen und die der Last mit Last gekennzeichnet, also beispielsweise ZGen und YLast. Damit sollen Verwechslungen mit den Induktivitäten und Kapazitäten vermieden werden, die beispielsweise mit ZL und YC1 gekennzeichnet werden. Reihen- und Parallelschaltungen werden mit verketteten Indizes gekennzeichnet, also beispielsweise ZGen-L oder ZC||Last.

Genau­so wie bei Wider­stands­netz­wer­ken unter Gleich­span­nung addie­ren sich auch bei Wech­sel­span­nung die Impe­dan­zen, wenn kom­plex­wer­ti­ge Wider­stän­de in Serie geschal­tet wer­den. Bei par­al­lel­ge­schal­te­ten Wider­stän­den addie­ren sich ihre Admittanzen.

Nach­rech­nen eines Beispiels

Ver­su­chen wir zur Ein­füh­rung ein klei­nes Bei­spiel. Eine kom­ple­xe Last ZLast = 20 + 50j soll bei 1,8 MHz an einen Gene­ra­tor mit einem Aus­gangs­wi­der­stand von 50 Ω ange­passt wer­den. Hier die Lösung mit SimSmith:

Zunächst bestimmt man die Kapa­zi­tät des Kon­den­sa­tors (rot) unter Ver­nach­läs­si­gung des Blind­wi­der­stands so, daß der Real­teil der Impe­danz ZLast||C=50 Ω wird. Das ist der Fall bei 2,363 nF. Die Induk­ti­vi­tät der Spu­le wird dann so gewählt, daß der ver­blei­ben­de Blind­wi­der­stand kom­pen­siert wird. Das Bei­spiel kann man nun auch mit Calc nachrechnen:

In den Zel­len C2..C7 wer­den die Para­me­ter ange­ge­ben, so wie sie auch bei SimS­mith ange­ge­ben bzw. errech­net wur­den. In den Zei­len dar­un­ter wer­den zunächst die Impe­dan­zen und Admit­tan­zen der ein­zel­nen Kom­po­nen­ten berechnet.

In C18 und C19 wer­den die Admit­tanz und dar­aus die Impe­danz der Par­al­lel­scha­lung des Kon­den­sa­tors mit der Last berech­net. In C20 wird dann noch die Impe­danz der Spu­le dazu­ge­fügt. Im Rah­men der gra­phi­schen Genau­ig­keit von SimS­mith ergibt sich die reel­le Impe­danz von 50 Ω. Die Berech­nung mit Calc stimmt also mit SimS­mith überein.

In C22..C25 wird die Impe­danz in umge­kehr­ter Rich­tung bestimmt. Sie ist kon­ju­giert kom­plex zu der Impe­danz der Last. Auch das ist kor­rekt. Man kann Anpass­glie­der also mit Libre­Of­fice Calc berech­nen. Hier die Anzei­ge der ver­wen­de­ten Formeln:

Kann man denn auch die Wer­te von C1 und L1 mit Calc bestim­men? Ja, aber es ist etwas komplizierter.

Berech­nen von Anpassgliedern

Ver­su­chen wir im ersten Ansatz die Wer­te für ein LC-Glied zu bestim­men, bei dem also die Spu­le seri­ell zum Gene­ra­tor geschal­tet ist und der Kon­den­sa­tor par­al­lel zur Last. Das ist die bereits im Bei­spiel gezeig­te Kon­fi­gu­ra­ti­on. Bei der Berech­nung geht man vor wie bei SimS­mith: zunächst die Kapa­zi­tät so bestim­men, daß der Real­teil von ZLast||C1 = 50 Ω wird, dann den ver­blei­ben­den Blind­wi­der­stand mit der Spu­le kom­pen­sie­ren. Zur Erläu­te­rung der nach­fol­gen­den Umfor­mun­gen sei auf die Regeln zur Divi­si­on kom­ple­xer Zah­len verwiesen.

Bei der Divi­si­on ergibt sich eine qua­dra­ti­sche Glei­chung mit einem Real­teil und einem Ima­gi­när­teil. Der Ima­gi­när­teil wird nun ver­wor­fen, denn wir suchen den Real­teil, der gleich dem Gene­ra­tor­wi­der­stand wird. Durch Umfor­mung erhält man eine Glei­chung zur Berech­nung des Blind­leit­werts B aus dem Wirk­leit­wert G:

Damit lässt sich nun die Admit­tanz YLoad||C1 bestim­men. Der Kon­den­sa­tor C1 soll hier als ide­al ange­nom­men wer­den. Sein Wirk­wider­stand sei 0 Ω und sei­ne Güte damit unend­lich. Der ein­zi­ge Bei­trag zum Wirk­leit­wert G kommt damit von der Last, wir set­zen als G = GLoad:

Es gibt also zwei Lösun­gen, eine mit der posi­ti­ven und eine mit der nega­ti­ven Wur­zel. Die­se Zwei­deu­tig­keit sieht man auch in SimS­mith: es gibt zwei Punk­te, bei denen der Wirk­wider­stand 50 Ω wird. Sie sind hier mit roten Krei­sen gekennzeichnet:

Die Admit­tanz der Last ist vor­ge­ge­ben und dar­aus lässt sich nun der benö­tig­te Blind­leit­wert und der Blind­wi­der­stand des Kon­den­sa­tors berechnen:

Für eine vor­ge­ge­be­ne Kreis­fre­quenz ω bestimmt man aus dem so errech­ne­ten Blind­wi­der­stand die Kapa­zi­tät des Kon­den­sa­tors nach der alt­be­kann­ten Formel:

Wel­cher Wert ist nun der rich­ti­ge? Zunächst ein­mal muß er posi­tiv sein, denn nega­ti­ve Wer­te bedeu­ten eine Dre­hung ent­ge­gen dem Uhr­zei­ger­sinn, was einem induk­ti­ven Wert ent­sprä­che. Sind bei­de Wer­te posi­tiv, dann muß man den grö­ße­ren von bei­den neh­men, denn sonst kommt man nicht auf den unte­ren Punkt der Kur­ve, son­dern bleibt am obe­ren hän­gen. Anders aus­ge­drückt neh­me man den grö­ße­ren der bei­den Wer­te. Ist kei­ner davon posi­tiv, dann gibt es kei­ne Lösung für die­ses LC-Glied.

Zum Abschluss bestimmt man die Induk­ti­vi­tät der Spu­le. Sie kom­pen­siert den ver­blei­ben­den kapa­zi­ti­ven Anteil und damit ist ihr Blind­wi­der­stand der­sel­be wie von ZLoad||C1, nur mit umge­kehr­tem Vorzeichen.

Hier nun ein Screen­shot des Calc-Sheets zur Berech­nung des LC-Anpassungsglieds:

und hier mit der Anzei­ge der Formeln:

Hier ist die Calc-Datei mit den hier gezeig­ten Beispielen:

Sie ent­hält auch die Berech­nung eines CL-Anpass­glie­des, das hier nicht bespro­chen wer­den soll. Es funk­tio­niert ana­log zum LC-Glied.

Es sei dar­auf hin­ge­wie­sen, daß nicht alle mög­li­chen Feh­ler abge­fan­gen wur­den. Bei­spiels­wei­se gibt es eine Divi­si­on durch Null, wenn die Last bereits mit R = 50 Ω ange­passt ist. Es soll­te hier nur dar­um gehen, das Prin­zip zu zeigen.

Anhang: Divi­si­on kom­ple­xer Zahlen

Nach­fol­gend noch ein kur­zer Exkurs in das Rech­nen mit kom­ple­xen Zah­len. Die Divi­si­on durch eine kom­ple­xe Zahl erreicht man durch Erwei­tern des Bruchs mit ihrem kon­ju­giert kom­ple­xen Wert. Damit ver­schwin­det die ima­gi­nä­re Ein­heit im Nen­ner. Hier ein Bei­spiel zur Berech­nung der Impe­danz Z aus der Admit­tanz Y:

Das Ergeb­nis der Divi­si­on ist wie­der eine kom­ple­xe Zahl mit einem Real­teil und einem Ima­gi­när­teil. Es fällt auf, daß beim Quo­ti­en­ten nun sowohl Antei­le des vor­he­ri­gen Ima­gi­när­teils im Real­teil auf­tau­chen als auch umge­kehrt. Außer­dem kom­men qua­dra­ti­sche Ter­me vor.

Hier der Libre­Of­fice Math Quell­text zum Erzeu­gen der hier genann­ten Formeln.

Man­tel­wel­len als Fol­ge sym­me­tri­scher und asym­me­tri­scher Quel­len und Senken

Die­ser Bei­trag erklärt die Unter­schie­de sym­me­tri­scher und asym­me­tri­scher Strom- und Span­nungs­quel­len und Sen­ken. Er zeigt anhand von Spi­ce-Simu­la­tio­nen, was pas­siert, wenn die Sym­me­trie zwi­schen Quel­le und Sen­ke gebro­chen wird und wie man die Fol­gen davon mini­miert. Obwohl die Über­le­gun­gen glei­cher­ma­ßen für Gleich- und Wech­sel­span­nung bzw. Gleich- und Wech­sel­strom jeder Fre­quenz gel­ten, ist der Ein­fach­heit hal­ber nach­fol­gend immer von Wech­sel­span­nung die Rede. Da es um Funk­an­wen­dun­gen geht, soll­te man immer in der MHz-Kate­go­rie den­ken, eher nicht an 50 Hz.

Als Mas­se bezeich­net man übli­cher­wei­se das Refe­renz­po­ten­ti­al inner­halb einer elek­tro­ni­schen Ein­heit. Um ein gerä­te­über­grei­fen­des Refe­renz­po­ten­ti­al zu haben, wer­den die Mas­sen ein­zel­ner Gerä­te in der Regel zusam­men­ge­schlos­sen und geer­det, also mit der Gebäu­de­er­dung verbunden.

Defi­ni­ti­on

Der Begriff Sym­me­trie bezieht sich hier auf das Refe­renz­po­ten­ti­al, nor­ma­ler­wei­se also die Mas­se. Eine asym­me­tri­sche Quel­le oder Sen­ke hat die Mas­se als fixes Refe­renz­po­ten­ti­al. Das Signal am ande­ren Pol wird immer gegen die­se Mas­se gemes­sen und kann dem­ge­gen­über belie­bi­ge posi­ti­ve und nega­ti­ve Wer­te anneh­men. Das Mas­se­po­ten­ti­al bleibt dabei immer kon­stant und hat defi­ni­ti­ons­ge­mäß eine Span­nung von null Volt. Es ist also gegen­über dem Signal pri­vi­le­giert und nicht austauschbar.

Asymmetrische Spannungsquelle
Asym­me­tri­sche Spannungsquelle

Bei einer sym­me­tri­schen Quel­le sind bei­de Pole gleich­be­rech­tigt. Sie kön­nen einen Mas­se­be­zug haben, müs­sen das aber nicht. Span­nun­gen wer­den nur zwi­schen den bei­den Polen gemes­sen. Sie kön­nen gegen­ein­an­der getauscht wer­den, wodurch sich ledig­lich die Pha­se um 180° dreht.

Symmetrische Spannungsquelle
Sym­me­tri­sche Spannungsquelle

Falls ein Mas­se­be­zug der sym­me­tri­schen Quel­le vor­han­den ist, muß die­se Mas­se jeder­zeit auf dem mitt­le­ren Poten­ti­al die­ser bei­den Pole lie­gen, denn sonst ist die Quel­le nicht mehr sym­me­trisch. Den klas­si­schen Fall einer sym­me­tri­schen Span­nungs­quel­le stellt ein Trans­for­ma­tor mit zwei gleich­ar­ti­gen Sekun­där­wick­lun­gen dar, die in der Mit­te mit­ein­an­der und mit der Mas­se ver­bun­den sind.

Symmetrische Spannungsquelle mit Massebezug
Sym­me­tri­sche Span­nungs­quel­le mit Massebezug

Elek­tri­sches Verhalten

Poten­ti­al­freie Last

Der Anschluß einer sym­me­tri­schen Last an eine sym­me­tri­sche oder asym­me­tri­sche Span­nungs­quel­le zeigt kei­ne Überraschungen.

Simulation einer asymmetrischen Spannungsquelle
Simu­la­ti­on einer asym­me­tri­schen Spannungsquelle

Hier wird eine 1 MHz Sinus­span­nung von 10Veff an einen reel­len 50 Ω Wider­stand ange­legt. Die am Wider­stand R1 umge­setz­te Lei­stung beträgt 2 W. Dar­an ändert sich nichts, wenn man die Mas­se weg­lässt. Aller­dings will Spi­ce immer einen Mas­se­be­zug haben, die Simu­la­ti­on wür­de ohne die Mas­se­ver­bin­dung also scheitern.

In der Rea­li­tät sind die bei­den Zulei­tun­gen zu R1 aller­dings nicht ide­al. Sie haben einen ohm­schen Wider­stand, eine Induk­ti­vi­tät und eine Kapa­zi­tät. Simu­lie­ren wir mal nur den ohm­schen Wider­stand und ver­nach­läs­si­gen wir die Impedanzen.

Simulation einer asymmetrischen Spannungsquelle und des Zuleitungswiderstands
Simu­la­ti­on einer asym­me­tri­schen Span­nungs­quel­le und des Zuleitungswiderstands

Es wur­de will­kür­lich ein Lei­tungs­wi­der­stand von 1 Ω je Lei­tung ange­nom­men. Dadurch sinkt die in R1 umge­setz­te Lei­stung auf 1,85 W. Wich­ti­ger ist hier aber die Dif­fe­renz der Strö­me (rote Linie), die durch die Zulei­tun­gen R4 und R5 flie­ßen: die­se Dif­fe­renz ist null. Die Strö­me sind also jeder­zeit völ­lig gleich.

Ein sym­me­tri­scher Dipol als Last

Wie sieht das nun aus, wenn wir einen sym­me­tri­schen Dipol anschlie­ßen, des­sen Impe­danz bei Reso­nanz 50 Ω reell sein soll (was bekannt­lich nur annä­hernd stimmt), sich also von dem oben gezeig­ten Wider­stand nicht unter­schei­det. Dabei soll ein Dipol-Arm an UR11 ange­schlos­sen wer­den, der ande­re an UR12.

Der Dipol erfüllt nicht die Erwar­tung, daß UR12, wenn auch über 1 Ω, auf Mas­se­po­ten­ti­al bleibt. Der Dipol ist frei auf­ge­hängt und bei­de Pole sind gleich­wer­tig, er ist sym­me­trisch. Über die gal­va­ni­sche Kopp­lung an UR11 und UR12 hin­aus, ist der Dipol auch durch sein elek­tro­ma­gne­ti­sches Feld mit Erde und Mas­se ver­bun­den. Die Abstrah­lung die­ses elek­tro­ma­gne­ti­schen Fel­des ist ja letzt­lich sei­ne Auf­ga­be. Es darf nicht igno­riert wer­den. Der Dipol gene­riert sich damit sein eige­nes mit­ti­ges Bezugs­po­ten­ti­al und damit sieht die Rea­li­tät nun fol­gen­der­ma­ßen aus:

Simulation einer symmetrischen Last an einer asymmetrischen Spannungsquelle
Simu­la­ti­on einer sym­me­tri­schen Last an einer asym­me­tri­schen Spannungsquelle

Der Last­wi­der­stand von 50 Ω ist nun gleich­mä­ßig in R1 und R2 von jeweils 25 Ω auf­ge­teilt und deren mitt­le­re Ver­bin­dung ist über einen Wider­stand R3 an die Erde gelegt. Das soll ver­ein­facht die elek­tro­ma­gne­ti­sche Kopp­lung des Dipols zu Erde simu­lie­ren. Die tat­säch­li­che Grö­ße von R3 ist für das Ver­ständ­nis nicht rele­vant. Hier wur­den 100 Ω gewählt, damit der Effekt deut­lich sicht­bar wird: die Strö­me über R4 und R5 glei­chen sich jetzt nicht mehr aus. Wenn man R5 als den Außen­lei­ter eines Koax­ka­bels betrach­tet, die Abschir­mung, fließt nun ein Strom in die­sem Man­tel, ein Man­tel­strom. Damit liegt die Abschir­mung nicht mehr auf einem ein­heit­li­chen Poten­ti­al, was bei grö­ße­ren Sen­de­lei­stung zu aller­lei teils über­ra­schen­den, aber uner­wünsch­ten, Effek­ten führt. Der auf­fäl­lig­ste davon ist mei­stens die Ein­strah­lung in ande­re elek­tro­ni­sche Gerä­te, wie z.B. einen PC. Wenn der bei Druck auf die Sen­de­ta­ste ein­friert, wenn Maus oder Tasta­tur ver­rückt spie­len, dann sind mei­stens Man­tel­wel­len dafür verantwortlich.

Die Ret­tung: ein Symmetrierer

Um die­se Man­tel­strö­me zu ver­mei­den, muß das asym­me­tri­sche Signal aus dem Koax­ka­bel zum Spei­sen des Dipols an des­sen Ein­spei­se­punkt sym­me­triert wer­den. Die­se Funk­ti­on über­nimmt ein Balun (balanced-unbalan­ced), der übli­cher­wei­se als Trans­for­ma­tor auf­ge­baut ist.

Simulation einer symmetrischen Last an einer asymmetrischen Spannungsquelle mit Symmetrierer
Simu­la­ti­on einer sym­me­tri­schen Last an einer asym­me­tri­schen Span­nungs­quel­le mit Symmetrierer

In die­ser Simu­la­ti­on wird ein Strom­trans­for­ma­tor ver­wen­det. Bei­de Wick­lun­gen, L1 und L2, sol­len eine Induk­ti­vi­tät von jeweils 500 µH haben. Die Spi­ce-Anwei­sung „K1 L1 L2 1“ besagt, daß die Spu­len L1 und L2 maxi­mal gekop­pelt sind. Der letz­te Para­me­ter kann zwi­schen 0 und 1 lie­gen. Hier ist also eine idea­ler Tra­fo simu­liert, den es so in der Pra­xis nicht gibt.

Die Simu­la­ti­on zeigt, daß die Sum­me der Strö­me in R4 und R5 gegen null geht. Die Man­tel­wel­le wur­de also erheb­lich gedämpft, die Lei­stung an R1 und R2 ist gleich­ge­blie­ben. Mecha­nisch ist ein Strom­trans­for­ma­tor sehr ein­fach zu rea­li­sie­ren, zum Bei­spiel indem man eini­ge Win­dun­gen Koaxi­al­ka­bel auf einem Ring­kern auf­wickelt (Rei­sert Balun).

Statt eines Strom­trans­for­ma­tors kann aber auch ein „klas­si­scher“ Span­nungs­trans­for­ma­tor ein­ge­setzt werden:

Symmetrierung mit Spannungsübertrager
Sym­me­trie­rung mit Spannungsübertrager

Das führt letzt­lich zu dem­sel­ben Ergeb­nis, daß die Man­tel­wel­len erheb­lich redu­ziert wer­den. Die­se Bau­art hat den zusätz­li­chen Vor­teil einer Poten­ti­al­tren­nung, dafür aber gege­be­nen­falls den Nach­teil, bei nied­ri­gen Fre­quen­zen einen Kurz­schluß darzustellen.

Mes­sung von Mantelwellen

Man­tel­wel­len las­sen sich durch eine recht ein­fa­che Mes­sung nach­wei­sen und zumin­dest qua­li­ta­tiv ver­glei­chen: man baut einen Strom­meß­tra­fo um das Spei­se­ka­bel her­um. Dazu eig­net sich ein mit eini­gen Win­dun­gen bewickel­ter Ring­kern, der über das Koaxi­al­ka­bel gescho­ben wird. Innen- und Außen­lei­ter des Koax­ka­bels stel­len die Pri­mär­wick­lung eines Trans­for­ma­tors dar, der Ring­kern die Sekun­där­wick­lung. Wenn die Strö­me auf dem Innen­lei­ter und dem Außen­lei­ter des Koax­ka­bels ent­ge­gen­ge­setzt flie­ßen und gleich groß sind, wird in der Meß­spu­le kei­ne Span­nung indu­ziert. Ist einer die­ser Strö­me grö­ßer als der ande­re, dann ist die indu­zier­te Span­nung pro­por­tio­nal zu die­sem über­schüs­si­gen Strom. Man kann die­se Span­nung gleich­rich­ten und mit einem Volt­me­ter nach­wei­sen. Hier eine ein­fa­che Schal­tung zu die­sem Zweck:

Messung von Mantelwellen
Mes­sung von Mantelwellen

An J1 wird die Meß­spu­le ange­schlos­sen, an J2 und J3 das Volt­me­ter. Als Dioden wer­den wegen der nied­ri­ge­ren Durch­bruch­span­nung nor­ma­ler­wei­se Ger­ma­ni­um­di­oden ver­wen­det. Schott­ky­di­oden oder Sili­zi­um­di­oden funk­tio­nie­ren auch, man stellt ja nor­ma­ler­wei­se kei­ne hohen Ansprü­che an die Meßgenauigkeit.

Die­se Meß­schal­tung lässt sich nun auch mit Spi­ce simulieren.

Mantelwellenmessung
Man­tel­wel­len­mes­sung

Um die Rechen­zeit und die Anzahl der Daten­punk­te in Gren­zen zu hal­ten, wur­de nur bis zu 500 ms simu­liert und die zeit­li­che Auf­lö­sung auf 1µs gesetzt. Die bei­den Lei­ter des Koax­ka­bels wur­den will­kür­lich (aber nicht ganz unrea­li­stisch) mit jeweils 50nH ange­setzt (L4 und L5), die Meß­spu­le L3 mit 10µH. Alle Spu­len sind wie­der ide­al gekop­pelt (Spi­ce Direk­ti­ve K2). Da LTSpi­ce kei­ne Ger­ma­ni­um­di­ode im Bau­ka­sten hat, wur­de die­se Simu­la­ti­on mit Schott­ky­di­oden durchgeführt.