In mehreren Beiträgen habe ich Formeln benutzt und sie manchmal auch erklärt oder auf weitergehende Erklärungen andernorts verwiesen. Manche dieser Formeln brauche ich immer wieder mal und muß sie mitunter selbst wieder heraussuchen, weil ich mir leider vieles nicht merken kann.
Mit dieser Seite will ich nun eine zentrale Formelsammlung erstellen, auf die ich bei Bedarf immer wieder verweisen kann. Das bedeutet, daß diese Seite lebt und bei Bedarf upgedated wird. Ich starte mit copy&paste, also bitte nicht wundern, wenn hier Teile aus früheren Beiträgen auftauchen. Das soll so sein und ich werde auch nicht die alten Beiträge dahingehend verändern, daß sie nun auf diese Formelsammlung verweisen.
Hinweis: Wenn Formeln numeriert sind, startet diese Numerierung bei jedem Kapitel von vorne. Das erleichtert mir das hin- und herschieben der Kapitel.
Update: Die Idee ist Mist! Ich habe jetzt doch alles von oben nach unten durchnummeriert, dann kann ich leichter auf eine Formel verweisen. Bei Verweisen füge ich dann ein # vor der Zahl ein, damit ich die Stellen besser finden kann.
Konventionen bei der komplexen Wechselstromrechnung
Hier eine kurze Auflistung der üblicherweise verwendeten Bezeichnungen, in Klammern die englischen Begriffe, die einem ja auch immer wieder mal begegnen.
Imaginäre Einheit
[1]
j ist die imaginäre Einheit (imaginary unit). Um Verwechslungen mit der Stromstärke zu vermeiden, wird die imaginäre Einheit (anders als in der Mathematik und der Physik) in der Elektrotechnik üblicherweise mit „j“ statt mit „i“ gekennzeichnet.
Impedanz
[2]
Z ist der komplexe Widerstand, die Impedanz (impedance). Sein Realteil R ist der reelle Wirkwiderstand (resistance) und sein Imaginärteil X ist der Blindwiderstand (reactance). Als Komponente einer komplexen Zahl ist auch X selbst eine reelle Zahl. Der Kehrwert der Impedanz ist der komplexe Leitwert, die Admittanz Y.
Scheinwiderstand
[3]
Der Betrag der Impedanz ist der Scheinwiderstand.
Admittanz
[4]
Y ist der komplexe Leitwert, die Admittanz (admittance). Sein Realteil G ist der reelle Wirkleitwert (conductance) und sein Imaginärteil B ist der Blindleitwert (susceptance). Als Komponente einer komplexen Zahl ist auch B eine reelle Zahl. Der Kehrwert der Admittanz ist die komplexe Impedanz Z.
Scheinleitwert
[5]
Der Betrag der Admittanz ist der Scheinleitwert.
Genauso wie bei Widerstandsnetzwerken unter Gleichspannung addieren sich auch bei Wechselspannung die Impedanzen, wenn komplexwertige Widerstände in Serie geschaltet werden. Bei parallelgeschalteten Elementen addieren sich ihre Admittanzen.
Identitäten
Durch Umformen der oben genannten Gleichungen unter Anwendung der Rechenregeln für komplexe Zahlen ergeben sich folgende Identitäten:
Wirkwiderstand
[6]
Wirkleitwert
[7]
Blindwiderstand
[8]
Blindleitwert
[9]
Das Smith-Diagramm
Das Smith-Diagramm zeigt den komplexen Reflexionsfaktor Gamma (Γ). Gamma ist definiert als das Verhältnis der komplexen rücklaufenden zur komplexen vorlaufenden Spannung:
[10]
Der komplexe Reflexionsfaktor Gamma ist damit genau das, was ein vektorieller Netzwerkanalysator als s11-Parameter misst. Die Wechselspannungen können als komplexe Größen geschrieben werden:
[11]
Das Dach (Zirkumflex) bezeichnet dabei die Amplitude der jeweiligen Spannung, ω die Kreisfrequenz, t den Zeitpunkt und φ die Phasenverschiebung beider Signale. Beide Kreisfrequenzen sind notwendigerweise gleich, denn bei der Reflexion tritt keine Frequenzänderung auf. Damit kürzen sich bei der Division zwei Terme im Zähler und Nenner und Gamma errechnet sich zu:
[12]
Mit Hilfe der Eulerschen Formel wird daraus:
[13]
Damit ist Gamma eine „ganz gewöhnliche“ komplexe Zahl im Einheitskreis der komplexen Zahlenebene, wie im oben verlinkten Wikipedia-Artikel gezeigt wird. Das Smith-Diagramm stellt in diesem Einheitskreis die Reflexionsfaktoren dar. Das Smith-Diagramm zeigt also die Reflexionsfaktorebene.
Der Reflexionsfaktor Gamma lässt sich auch aus den Impedanzen berechnen. Damit werden die Impedanzen aus der karthesischen Impedanzebene in die polare Reflexionsfaktorebene transformiert:
[14]
Diese Transformation ist bilinear. Aus der Reflexionsfaktorebene kann man auch wieder die Impedanz berechnen:
[15]
Das Smith-Diagramm wird konstruiert, indem man den Reflexionsfaktor Gamma im karthesischen Koordinatensystem darstellt. Als Beschriftung wird dann aber normalerweise die eindeutig zu jedem Gamma gehörende Lastimpedanz ZL gezeigt, die sich aus [#15] errechnet.
Das Stehwellenverhältnis
Das Stehwellenverhältnis errechnet sich aus dem Betrag des komplexen Reflexionsfaktors:
[16]
Damit wird das Stehwellenverhältnis zu einer reellen Zahl, der die Phaseninformation fehlt. Durch einfache Umformung kann man aus dem Stehwellenverhältnis auch den Betrag des Reflexionsfaktors berechnen:
[17]
Alle Punkte gleichen Stehwellenverhältnisses liegen im Smith-Diagramm auf konzentrischen Kreisen um dessen Mittelpunkt.
Aus [#10] und [#16] ergibt sich auch folgender Zusammenhang:
[18]
[19]
Siehe auch: Wikipedia.
Güte
Als Güte Q einer realen und verlustbehafteten Impedanz (Spule oder Kondensator) bezeichnet man den Quotienten ihres Blindwiderstandes und ihres Wirkwiderstandes.
[20]
Da der Blindwiderstand X frequenzabhängig ist, ist auch die Güte frequenzabhängig.
Die Güte Q eines Schwingkreises im Resonanzfall errechnet sich aus der Güte QC des Kondensators und der Güte QL der Spule nach folgender Formel:
Schwingkreisgüte
[21]
Üblicherweise ist die Güte des Kondensators eines Schwingkreises deutlich höher, als die Güte der Spule. Dann nähert sich die Gesamtgüte Q der Güte der Spule QL an. Typische Werte für QC liegen in der Größenordnung 1000, während typische Spulengüten QL bei 100 liegen.