Touchstone Dateien, üblicherweise mit der Endung .s1p oder .s2p sind lesbare Textdateien, die Netzwerk-Parameter enthalten. Diese Dateien sind zu einem Standard geworden. Sie können von vielen Programmen der HF-Meß- und Simulationstechnik gelesen und geschrieben werden. Mitunter ist es praktisch, sie auch mit einem Spreadsheetprogramm zu bearbeiten. Hier soll an einem einfachen Beispiel, den mit einem VNWA gemessenen s11 Parametern, die prinzipielle Vorgehensweise beschrieben werden.
Ein reales Beispiel
Hier ist das Ergebnis der s11-Messung einer kernlosen Zylinderspule. Die VNWA Betriebssoftware zeigt folgendes an:
s11-Messung an einer kernlosen Zylinderspule
Die Meßergebnisse können als Touchstone-Datei exportiert werden:
Hier wurde als Format Real und Imaginärteil gewählt. Andere Formate (Magnitude und Winkel bzw. dB und Phase) sind auch wählbar und können genauso gut weiterverarbeitet werden. Die ersten Zeilen sehen folgendermaßen aus:
! ListType=Lin
# MHz S RI R 50
5.0000000 0.0273505 0.9908113
5.0237559 0.0325082 0.9905086
Die erste Zeile startet mit einem „!“ und ist ein beliebiger Kommentar. Das „#“ in der zweiten Zeile kennzeichnet die Options-Zeile. In diesem Fall besagt sie, daß Frequenzen (erste Spalte) in MHz angegeben sind. Das „S“ bedeutet, daß s‑Parameter folgen und zwar im Format RI, also Realteil (zweite Spalte) und Imaginärteil (dritte Spalte). R kennzeichnet den Referenzwiderstand in Ohm, in diesem und den meisten anderen Fällen 50 Ohm. Dann folgen beliebig viele Zeilen mit s‑Parametern im beschriebenen Format. Andere Formate sollen hier nicht besprochen werden. Sie können der oben genannten Spezifikation entnommen werden.
Bevor man diese Datei nun mit einem Spreadsheet-Programm, wie z.B. LibreOffice, weiterverarbeiten kann, muß man sie in ein importfähiges Format umwandeln. Das geht am einfachsten, indem man sie mit einem beliebigen Text-Editor in ein CSV-Format umwandelt. CSV erwartet im einfachsten Fall eine Beschreibung der nachfolgenden Spalten in der ersten Zeile, gefolgt von den Daten. Spaltenelemente werden am besten durch „;“ getrennt, andere Trennzeichen sind aber auch möglich. Dann müssen noch auf den meisten europäischen PCs die Dezimaltrennzeichen von Punkt auf Komma geändert werden. Die importierbare CSV-Datei sieht dann so aus:
In LibreOffice importiert sieht das dann folgendermaßen aus:
s1p-File in LibreOffice importiert
Damit kann man arbeiten! Da LibreOffice mit einigen eingebauten Funktionen auch komplexe Zahlen bearbeiten kann, ist es hilfreich, die s11-Parameter zunächst in eine komplexe Zahl umzuwandeln. Das geht mit der Funktion Komplexe(real;imag;„j“) in Spalte D, wie hier für die erste Zeile gezeigt:
=KOMPLEXE(B2;C2;"j")
„real“ ist der Realteil und „imag“ der Imaginärteil der zu generierenden komplexen Zahl. Der dritte Parameter gibt an, wie die imaginäre Einheit genannt werden soll. In der Elektrotechnik wird normalerweise ein „j“ gewählt.
Da alle weiteren Berechnungen auf der komplexen Impedanz Z beruhen, sollte diese als nächstes berechnet werden. Das geht über folgende Formel:
1 + s11
Z = Z0 * ---------
1 - s11
In Libre Office wird die Formel dann folgendermaßen in Spalte E codiert:
=IMPRODUKT(50;IMDIV(IMSUMME(1;D2);IMSUB(1;D2)))
Die Bezeichnungen der Funktionen sind eigentlich selbsterklärend: IMSUMME() und IMSUB() berechnen die Summe bzw. die Differenz zweier komplexer Zahlen, IMDIV() den Quotienten und IMPRODUKT() das Produkt. Die Arbeit mit komplexen Zahlen wir damit zum Kinderspiel. Das Spreadsheet sieht nun folgendermaßen aus:
s1p-File mit s11 und Z als komplexen Zahlen
Aus der Impedanz und deren Komponenten X und R lassen sich nun wie in diesem Beitrag zusammengefasst weitere Parameter berechnen, z.B. die Induktivität L = X/ω und die Güte Q = X/R. Die dazu verwendeten LibreOffice-Funktionen sind:
Induktivität L [µH]: =IMAGINÄRTEIL(E2)/(2*PI()*A2)
Der Term „2∗PI()∗A2“ im Nenner entspricht dabei „2∗PI()∗f“, also ω. Da die Frequenz im MHz angegeben ist, wird die Induktivität ohne weitere Umrechnung in µH ausgegeben.
Güte Q: =ABS(IMAGINÄRTEIL(E2)/IMREALTEIL(E2))
Damit die Güte auch im kapazitiven Bereich positiv bleibt, wurde hier noch die ABS() Funktion verwendet.
Die Berechnung weiterer Parameter und die Weiterverarbeitung beispielsweise zum Glätten der Kurven und zur graphischen Darstellung sei dem geneigten Leser überlassen. Hier ist das Libre Office File zum Experimentieren:
Über das Wickeln von Spulen ist bereits viel nützliches geschrieben worden. Einige Links auf hilfreiche Artikel und Werkzeuge habe ich bereits bei der Beschreibung des Antennentuners angegeben. Diese Werkzeuge werden auch hier wieder verwendet.
Freitragende zylindrische Spulen werden oft als Luftspulen bezeichnet. Zu recht weißen manche darauf hin, daß das falsch sei, denn die Spule ist nicht aus Luft gewickelt, sondern aus einem Leiter, meistens aus Kupfer. Daher wird auch gerne der Begriff Luftkernspule als Gegensatz zur Ferritkernspule verwendet. Das halte ich, auch wenn es technisch und grammatikalisch korrekt ist, für unglücklich, dann die Luft im Kern der Spule hat keinen meßbaren Einfluß auf ihre elektrischen Eigenschaften. Ein Vakuum wäre im Rahmen unserer Amateurmeßmittel völlig identisch. Ich bevorzuge und verwende daher den Begriff kernlose Spule.
Meine Quelle für Kupferdraht
Die nachfolgend exemplarisch beschriebenen kernlosen Spulen sind aus blankem Kupferdraht gewickelt, der aus 3 x 1,5 mm² Mantelleitung gewonnen wurde (knapp 1,4 mm Durchmesser). Reststücke dieser Mantelleitung fallen bei der Hausinstallation an. Selbst wenn man solche Kabel nicht hat, ist es wohl preiswerter einen 25‑, 50- oder 100-m-Ring im Baumarkt zu kaufen, als Kupferlackdraht im Elektronikhandel. Oxidation der blanken Spule läßt sich z.B. mit Lötlack vorbeugen. Soll der Draht etwas dünner oder dicker sein, kann man auch Installationsleitungen mit 1 mm², 2,5 mm² oder noch größerem Querschnitt bekommen. Wem es auf das letzte Quäntchen Güte ankommt, der wird freilich zu versilbertem Kupferdraht (CuAg) greifen.
Zum Abmanteln der Kabel gibt es praktische preiswerte Werkzeuge im Baumarkt, soweit man sie nicht sowieso im Werkzeugkoffer hat. Als Beispiel dieses Exemplar, das knapp 40 Jahre alt ist und mutmaßlich dutzende Stunden im Einsatz war:
Abisolierer aus dem Baumarkt
Das Abmanteln einer einzelnen Ader auf mehrere Meter ist nicht ganz so trivial. Eine Abisolierzange ist nur für wenige Zentimeter geeignet. Ich habe mir daher ein kleines Werkzeug aus 8 mm dickem PVC gefräst. Es hat ein Loch mit 3 mm Durchmesser, durch den eine Ader mit Isolierung passt und in einer passend gefrästen Nut ist die Klinge eines Cutters mit Heißkleber eingeklebt. Diese Klinge ist so justiert, daß sie die Isolierung des Drahtes hinreichend weit einschneidet, so daß sie nach dem Durchziehen fast von selber abfällt. Hier zwei Fotos davon:
Abisolierer für einzelne Adern mit eingeklebter CutterklingeAbisolierer für einzelne Adern (mit isolierter Ader)
Ferritkern oder kernlose Spulen?
Es gibt doch so schöne und preiswerte Eisenpulver- und Ferritringkerne, die mit viel weniger Windungen und kleinerer Bauart dieselbe Induktivität erreichen, wie eine kernlose Zylinderspule. Da man mit einem kürzeren Draht auskommt, sollte auch die Güte besser sein. Warum soll man da eine kernlose Spule verwenden?
Alle Spulenkerne haben die prinzipiell nachteilige Eigenschaft, bei zu großer magnetischer Feldstärke in die Sättigung zu geraten. Bei kernlosen Spulen steigt die magnetische Flußdichte B proportional mit der magnetischen Feldstärke H, die wiederum von der Stromstärke in der Spule bestimmt wird. Bei Spulen mit Kernen ist das nicht mehr der Fall, in der Sättigung steigt die Flußdichte nur noch gering an (Weichmagnetische Werkstoffe). Die Induktivität der Spule wird daher bei hohen Leistungen nichtlinear. Die bei geringer Leistung mit einem VNWA gemessenen Daten sind also nicht ohne weiteres auf den Betrieb mit höherer Leistung übertragbar. Außerdem gibt es wegen der Hysteresekurve Ummagnetisierungsverluste, die die Güte der Kernspule negativ beeinflussen.
Daher müssen Kernspulen für die Betriebsleistung hinreichend dimensioniert sein. Aus eigener Erfahrung können Kerne schon bei 100 Watt Sendeleistung sehr heiß werden. Wenn sie dann die Curie-Temperatur überschreiten, verlieren sie völlig ihre magnetischen Eigenschaften. Zudem sind manche Kerne elektrisch leitend, was insbesondere bei hohen HF-Spannungen eine hinreichende Isolierung der Wicklung erfordert.
Aus diesen Gründen bevorzuge ich, wenn möglich, kernlose Spulen, zumindest wenn Leistung im Spiel ist oder eine möglichst hohe Güte benötigt wird.
Spulenmessung mit dem VNWA
Hat man nun nach einer der vorliegenden Anleitungen eine schöne Spule gewickelt, dann muß sie auch qualifiziert nachgemessen werden. Man will im wesentlichen wissen, ob sie die angestrebte Induktivität und Güte hat und natürlich auch, bei welcher Frequenz sie ihre Parallelresonanz aufweist. Nur unterhalb dieser Selbstresonanzfrequenz (SRF) ist sie als Induktivität zu gebrauchen.
Einlagige kernlose Zylinderspule
Zum Einstieg zeige ich mal den Bau und die Messung einer einlagigen kernlosen Zylinderspule aus 1,4 mm Kupferdraht mit 9 Windungen, 30,5 mm Durchmesser und 3 mm Windungsabstand, also 27 mm Gesamtlänge.
kernlose Zylinderspule mit 9 Windungen
Die Spule wurde zunächst auf einem Wickelkörper von etwa 28 mm Durchmesser, einem leeren Multivitamin-Brausetabletten-Röhrchen, gewickelt. Nach dem Wickeln dehnt sie sich wegen der verbleibenden Spannung auf gut 30 mm auf und kann dann leicht in einen vorbereiteten gefrästen Halter aus unbeschichtetem GFK-Material eingeschraubt werden. Er zwingt die Spule auf einen Durchmesser von 30,5 mm und einen Windungsabstand von 1,5 mm. Die zweite Reihe von Bohrungen ist zum Einschrauben einer äußeren, etwas größeren, Spule vorgesehen. Damit sind also zwei- oder mehrlagige kernlose Spulen möglich, die später noch untersucht werden.
Nach dem Spreadsheet von HB9DFZ sollte diese Spule eine Induktivität von 1,729 µH und bei 5 MHz eine Güte von 306,8 haben. Zu beachten ist, daß das Spreadsheet keine parasitären Kapazitäten, also auch keine Selbstresonanzfrequenz berücksichtigt. Daher wächst die errechnete Güte grenzenlos mit der Frequenz. Das Spreadsheet ist daher zur Abschätzung der Güte nur deutlich unterhalb der SRF zu gebrauchen.
Der Meßaufbau sieht folgendermaßen aus:
Der Testaufbau mit einem VNWA
Die Spule wird nur an den Meßausgang des VNWA angeschlossen, es werden also nur die s11-Parameter gemessen. Letztlich funktioniert die Messung genauso, wie die LTSpice-Simulation im vorherigen Beitrag: es wird eine definierte Meßspannung auf die Spule gegeben und der daraus resultierende Strom gemessen. Spannung und Strom werden jeweils in Betrag und Phase gemessen. Daraus werden dann wie bei LTSpice alle unten dargestellten Parameter errechnet.
Messung einer kernlosen Zylinderspule mit dem DG8SAQ VNWA
Zur Vergleichbarkeit mit den Simulationen sind auch hier wieder der Scheinwiderstand |Z|, die Induktivität L und die Güte QL dargestellt. Zur Verdeutlichung sind fünf Marker an unterschiedlichen Frequenzen eingefügt.
Bei niedrigen Frequenzen wird eine Induktivität von 1,75 µH gemessen, was erstaunlich genau der vorhergesagten Induktivität von 1,73 µH entspricht.
Die Selbstresonanzfrequenz der Spule liegt bei 98,4 MHz, am rechten Rand des Diagramms. Aus der SRF und der Induktivität von 1,75 µH kann man nach der Thomsonschen Schwingungsgleichung auf eine parasitäre Kapazität von etwa 1,5 pF schließen.
Die Güte bei 5 MHz liegt bei gemessenen 375, was den vorhergesagten 307 auch recht nahe kommt. Gütemessungen sind allerdings notorisch ungenau und werden weiter unten noch etwas detaillierter diskutiert.
Mitunter braucht man für die unteren Kurzwellenbänder Spulen höherer Induktivität. Ab dem oberen einstelligen µH-Bereich können solche Spulen mechanische Dimensionen annehmen, die in den üblichen Gehäusen kaum mehr handhabbar sind. Das ändert aber nichts an ihrer Machbarkeit. Als Beispiel soll jetzt eine Spule von etwa 12 µH untersucht werden.
Durch Ausprobieren praktikabler Werte erhält man mit dem Spreadsheet von HB9DFZ für eine Spule mit 80 mm Durchmesser und einer Länge von 33,6 mm bei 12 Windungen eine Induktivität von knapp 13 µH. Bei 10 MHz wird eine Güte von 930 prognostiziert.
Die Steigung von 2,8 mm wurde übrigens nach der Daumenregel ausgewählt, wonach der Windungsabstand für optimale Güte genauso groß sein soll, wie der Drahtdurchmesser, nämlich bei dem verwendeten Draht jeweils 1,4 mm.
Wegen des großen Durchmessers der Spule sind weitere Abstandshalter vorgesehen, die den korrekten Abstand der einzelnen Windungen sicherstellen.
Einlagige kernlose Zylinderspule, 12 Windungen, 80 mm Durchmesser
Die nachfolgende Grafik zeigt die Meßergebnisse:
Meßergebnisse der einlagigen kernlosen Zylinderspule
Man beachte, daß die vertikale Skalierung der Induktivität und der Güte gegenüber der vorigen Messung geändert wurde. Die Induktivität ist mit 14,2 µH etwas höher als berechnet. Bei der Güte sollte man sich nicht auf die Marker verlassen, die zufällig auf einem Ausreißer der Meßwerte stehen können. „Mit dem Auge gemittelt“ dürfte die 10 MHz-Güte bei etwa 400 liegen. Eine schmalbandigere Messung von 8 bis 12 MHz ergibt eine Güte von ungefähr 500, also etwa halb soviel, wie vorhergesagt. Die Selbstresonanzfrequenz liegt bei ungefähr 20 MHz.
Da eine Spule von 80 mm Durchmesser nur schlecht handhabbar ist, soll nun eine zweilagige kernlose Spule ähnlicher Induktivität untersucht werden.
Zweilagige kernlose Zylinderspule
Kernlose Zylinderspulen lassen sich mit einem gefrästen Wickelkörper auch leicht als zwei- oder mehrlagige Spulen fertigen. Das sollte die Induktivität bei niedrigem Bauvolumen deutlich erhöhen. Gleichzeitig wird man aber erwarten, daß die Selbstresonanzfrequenz sinkt, weil die parasitäre Kapazität größer wird, als bei einer einlagigen Spule.
Der nachfolgend untersuchte Prototyp der zweilagigen Zylinderspule besteht aus zwei zunächst unabhängigen Spulen. Sie sind einzeln gewickelt, wurden nacheinander in den Spulenträger eingedreht (am besten fängt man mit der inneren Spule an) und dann die Drähte am einen Ende aneinandergelötet, am anderen Ende wurde eine Meßbuchse angelötet.
Zu Beachten ist, daß der Wickelsinn beider Spulen gleich sein muß. Da die eine Spule nach oben und die andere nach unten steigt, muß die eine linksherum und die andere rechtsherum gewickelt werden. Zur Wahrung der Formstabilität und des Abstandes beider Spulen sind hier noch kleine Abstandshalter eingeklemmt. Beim Fräsen dieser Halter ist zu beachten, daß die Windungen der beiden Spulen nicht parallel verlaufen, sondern sich wegen der entgegengesetzten Wickelrichtung bei 90° und 270° schneiden. Die Einkerbungen auf beiden Seiten sollten sich also gegenüber liegen. Anders als hier gezeigt reichen zwei dieser Halter auch völlig aus.
Die innere Spule hat einen Durchmesser von 28 mm, die äußere von 36 mm. Sowohl auf der inneren wie auch auf der äußeren Spule sind 13,5 Windungen aufgebracht, was insgesamt 27 Windungen ergibt. Die Steigung beträgt jeweils 2,8 mm, was zu knapp 38 mm Spulenlänge führt (2,8 mm ∗ 13,5 Windungen).
Zur überschlägigen Bestimmung der Induktivität nehme ich einen mittleren Durchmesser von 32 mm und komme mit dem oben schon genannten Spreadsheet von HB9DFZ auf 12,88 µH und bei 10 MHz auf eine Güte von 213.
Meßergebnisse der zweilagigen Spule
Meßergebnisse der zweilagigen kernlosen Zylinderspule
Die gemessene Induktivität liegt bei etwa 11,4 µH, also etwas unterhalb, aber dennoch recht nahe bei den oben errechneten 12,88 µH. Die vorhergesagte Güte bei 10 MHz von 213 wird mit etwa 400 (wieder „mit dem Auge gemittelt“) deutlich überboten. Es fällt auf, daß die Güte auch bei Frequenzen über 10 MHz, anders als bei der einlagigen Spule, relativ hoch bleibt. Eine etwas breitbandigere Messung zeigt, daß die Selbstresonanzfrequenz bei etwa 19 MHz liegt.
Ein kurzer Vergleich mit der einlagigen Spule zeigt also, daß SRF und Güte nur wenig gesunken sind. Nicht vergessen darf man allerdings, daß die Induktivität der einlagigen Spule doch etwa 25% höher ist. Ein fairer Vergleich wirklich gleicher Induktivitäten, wird daher noch deutlicher zugunsten der einlagigen Spule ausfallen (aber „Welten“ liegen nicht dazwischen).
Vergleichsmessung einer Ringkernspule
Zum Vergleich mit den ein- und zweilagigen kernlosen Spulen soll eine Ringkernspule ähnlicher Induktivität untersucht werden. Weil vorhanden, fällt die Wahl auf einen FT114-61 Ringkern. Der mini-Ringkernrechner errechnet für 12 Windungen eine Induktivität von 11,4 µH.
Ringkernspule. 12 Windungen auf FT114-61
Meßergebnisse der Ringkernspule
Meßergebnisse der Ringkernspule
Die Induktivität liegt mit 10,9 µH auch hier leicht unter der prognostizierten von 11,4 µH. Die Selbstresonanzfrequenz ist hier nicht gezeigt, sie liegt bei knapp 30 MHz. Bei niedrigen Frequenzen von 1 und 2 MHz ist die Güte sehr hoch, sie sinkt aber schon bei 5 MHz unter die der kernlosen Spule und sie wird schon bei 10 und 14 MHz kaum mehr als ein fünftel der zweilagigen kernlosen Spule. Auch wenn man Gütemessungen immer etwas kritisch betrachten sollte, ist der Trend eindeutig.
Zusammenfassung der Meßergebnisse
Es wurden exemplarisch drei Spulen mit ungefähr gleicher Induktivität mit einem VNWA von DG8SAQ durchgemessen. Das nachfolgende Foto zeigt einen Größenvergleich der Spulen.
Größenvergleich der hier gemessenen Spulen
Die größte Spule is eine einlagige kernlose Spule mit 80 mm Durchmesser und 34 mm Höhe. Bei 10 MHz hat sie die beste Güte dieser Spulen und ihre Selbstresonanzfrequenz liegt bei 20 MHz. Die zweilagige kernlose Spule steht ihr in den elektrischen Eigenschaften kaum nach, hat aber weniger als den halben Durchmesser, belegt damit also weniger als ein viertel der Fläche und ist nur 4 mm höher.
Die Größe der Ringkernspule ist unschlagbar. Ihr Durchmesser ist dem der zweilagigen Zylinderspule ähnlich (33 mm vs. 36 mm), aber die Höhe beträgt mit 10 mm nur ein gutes viertel der Zylinderspule. Dafür ist die Zylinderspule wesentlich höher belastbar. Ihre Güte von etwa 400 bedeutet, daß sie ein vierhundertstel der beaufschlagten Leistung in Wärme umwandelt, also 1 Watt bei 400 Watt Leistung. Da sie „luftgekühlt“ ist, würde ich ihr ohne weiteres 2,5 W Verlust zumuten, sie also mit 1 kW betreiben. In der Ringkernspule wird bei einer Güte von 80 bereits bei 80 W Belastung ein Watt verbraten. Da sie wegen der kompakten Bauweise viel schlechter gekühlt wird, ist diese Belastung schon bedenklich.
Gütemessungen sind notorisch ungenau und rauschbehaftet. Das liegt daran, daß Gütemessungen an die Meßgrenzen stoßen. Der Blindwiderstand liegt in der Größenordnung hunderte Ohm bis wenige kΩ, während der Wirkwiderstand in der Größenordnung einiger 100 mΩ bis wenigen Ohm liegt. Außerdem kann die Spule Störungen aus der Umgebung einfangen. Die oben gezeigte Meßkurve verwendet schon einen Trick, um die Kurve zu glätten: die Kurve der Güte wird über die jeweils benachbarten 40 Meßpunkte geglättet (smoothing). Die ungeglättete Kurve sieht so aus:
Messung einer kernlosen Zylinderspule mit dem DG8SAQ VNWA, ohne Smoothing der Güte
Und das ist noch harmlos, denn man kann schon optisch nur mit dem Auge die Güte abschätzen. Das ist nicht immer so. Die beiden anderen Kurven in diesem Beispiel sind übrigens nicht geglättet.
Dieselbe Spule ist hier nochmal etwas schmalbandiger gemessen und neben der Güte wird auch noch ihr Blindwiderstand und ihr Wirkwiderstand dargestellt.
Güte, Wirk- und Blindwiderstand einer Spule
Güte und Wirkwiderstand sind über jeweils 40 Meßwerte geglättet, der Blindwiderstand ist nicht geglättet. Die Güte wird aus Q=X/R berechnet und man sieht and den Meßwerten deutlich, daß der Wirkwiderstand R für das Rauschen und die nicht-Monotonie der Güte verantwortlich ist. Die Güte folgt spiegelbildlich dem Wirkwiderstand, die Kurve des Blindwiderstands ist im Rahmen der Meßgenauigkeit rauschfrei und monoton.
Trotz Glättung verbleiben Unregelmäßigkeiten (nicht-Monotonien) in den Meßkurven, die nicht mehr auf Rauschen zurückzuführen sind. Man sieht hier z.B. eine Erhöhung des Wirkwiderstandes und entsprechende Verminderung der Güte zwischen etwa 15 und 30 MHz. Sie bleiben bei Wiederholungen der Messung im wesentlichen gleich. Die Ursache ist unbekannt und gelegentlich werde ich da nochmal weiter forschen.
Man kann die Meßkurve noch weiter glätten und auch eine Ausgleichskurve oder einen Spline dafür berechnen. Das sollte natürlich mit großer Vorsicht gemacht werden, weil es zwar die Kurven verschönert, aber die wahren Ursachen verdeckt.
Verbesserung von Gütemessungen
Zur Verbesserung der Gütemessungen schlägt Kurt, OZ7OU, zwei unterschiedliche Maßnahmen vor. Zum einen hilft es, die Spule von äußeren Störungen abzuschirmen und sie z.B. in einen leeren Farbeimer zu montieren. Zum anderen kann man die Güte auch bei Serienresonanz messen, wo die Impedanzen ein Minimum erreichen, bei dem sie mit guter Auflösung meßbar sind. Eine Serienresonanz erreicht man durch Einschleifen eines passenden Kondensators hoher Güte.
Die Güte Q eines Schwingkreises im Resonanzfall errechnet sich aus der Güte QC des Kondensators und der Güte QL der Spule nach folgender Formel:
Schwingkreisgüte:
QL * QC
Q = ────────
QL + QC
Wenn man einen Kondensator auswählt, dessen Güte weitaus höher als die der Spule ist, dann nähert sich die gemessene Güte Q der Güte der Spule QL an. Zumindest erhält man eine gute untere Abschätzung: auch bei einem Kondensator geringer Güte, ist die tatsächliche Güte der Spule also immer noch besser, als die damit gemessene Güte.
Der kleine Nachteil dieser Methode ist, daß man mit einem festen Kondensator immer nur die Güte bei einer einzigen Frequenz messen kann. Kurt schlägt daher vor, einen Drehkondensator zu verwenden, um die Güte leicht bei mehreren unterschiedlichen Frequenzen zu messen.
Da hier keine hohen Anforderungen an die Präzision der Gütemessung gestellt werden sollen, gebe ich mich für die hier gezeigten Spulen mit der gemessenen (und geglätteten) Güte des VNWA zufrieden. Sie liegen, wie eingangs gezeigt, nicht um Größenordnungen daneben und sollten zumindest für vergleichende Messungen hinreichend genau sein.
Weitere geplante Versuche: Sonderbauformen
Bei Gelegenheit werde ich noch einige leicht zu fertigende Sonderbauformen kernloser Spulen untersuchen.
n‑eckige kernlose Spulen
Spulen müssen nicht zylinderförmig sein, sondern sie können auch einen n‑eckigen Querschnitt haben. Mit n gegen unendlich wird daraus dann wieder eine Zylinderspule. Da die Induktivität bei sonst gleichen Eigenschaften linear mit dem Querschnitt A wächst, hat eine quadratisch gewickelte Spule gegenüber einer gleichgroßen Zylinderspule eine knapp 30% höhere Induktivität (Zylinderspule: AZ=π/4∗d²; Quadratspule: AQ=d²; AQ/AZ=4/π=1,27). Die Länge L des Wickeldrahtes steigt um denselben Prozentsatz (LZ=π∗d vs. LQ=4∗d; LQ/LZ=4/π=1,27), wodurch die Güte in erster Näherung für gleiche Induktivitäten gleichbleiben sollte. Kernlose Spulen mit quadratischem oder rechteckigem Querschnitt könnten eine kompaktere Bauweise der damit ausgestatteten Geräte ergeben, weil sie den bei einer Zylinderspule ungenutzten Raum mitbenutzen. Das kann aber auch zu einem Nullsummenspiel werden, wenn größere Abstände eingehalten werden müssen, um Kopplungen zu benachbarten Bauelementen zu verringern.
Versetzte Wicklungen n‑eckiger Spulen
Bei n‑eckigen Spulen kann man auf einem geeigneten Wickelkörper einzelne Windungen gegeneinander verdrehen. Das Prinzip wird bei Kreuzwickelspulen schon lange angewendet. Das sollte zu einer Verringerung der parasitären Kapazität und einer entsprechenden Erhöhung der Selbstresonanzfrequenz führen.
Konische Spulen
Seit einiger Zeit werden für den UHF-Frequenzbereich konische Spulen angeboten, die zwar zylindrisch sind, deren Durchmesser sich aber über die Länge ändert. Das soll die Güte der Spule erhöhen. Mal sehen, ob da was (meßbares) dran ist.
Eine Spule zu bauen ist einfach: ein paar Windungen Draht auf einen passenden Wickelkern aufwickeln, einlöten, fertig. Deutlich schwieriger wird es, wenn die Spule bestimmte mechanische und elektrische Eigenschaften haben soll: Abmessungen, Induktivität, Güte, Selbstresonanzfrequenz (SRF) oder minimale elektrische Belastbarkeit für Senderendstufen und zur Antennenanpassung. Diese Beitragsreihe zeigt Beispiele zur Simulation idealer und realer Spulen mit LTSpice, zum Wickeln solcher Spulen und zur Messung der Parameter mit dem VNWA von DG8SAQ.
Wir starten mit einer kurzen Wiederholung der Grundlagen und der Simulation. Den üblichen Konventionen folgend werden hier komplexe Zahlen mit einem Unterstrich und die imaginäre Einheit, wie in der Elektrotechnik üblich, mit j gekennzeichnet.
Eine Spule hat die Induktivität L, die von ihren mechanischen Abmessungen bestimmt wird. Wird sie von einem elektrischen Strom durchflossen, erzeugt sie ein Magnetfeld, das Energie speichert. Jede Spule hat einen komplexen Wechselstromwiderstand, die Impedanz Z:
Impedanz:
Z = R + jω ∗ L
(1)
Der Realteil der Impedanz ist der Wirkwiderstand R:
Wirkwiderstand:
R = Re(Z)
(2)
Der Imaginärteil der Impedanz ist der Blindwiderstand X:
Blindwiderstand:
X = Im(Z) = 2πf ∗ L = ω ∗ L
(3)
Der Scheinwiderstand Z (nicht komplex, daher ohne Unterstrich) ist die pythagoräische Summe von Wirk- und Blindwiderstand:
Scheinwiderstand:
Z = |Z| = Mag(Z)
(4)
Die Spulengüte Q ist das Verhältnis des Blindwiderstandes X zum Wirkwiderstand R einer Spule:
Spulengüte:
Q = X / R
(5)
Re(), Im() und Mag() sind Funktionen, die LTSpice für komplexe Zahlen unterstützt.
Der Wirkwiderstand einer idealen Spule ist R = 0 Ω und ihr Blindwiderstand X steigt nach (3) proportional mit der Frequenz f. Das schauen wir uns nun einmal in einer LTSpice-Simulation an.
Simulation einer (fast) idealen Spule
Da die Simulation einer idealen Spule L1 mit R = 0 Ω nach (5) zu einer unendlichen Güte führt, beginnen wir mit der Simulation einer fast idealen Spule. Sie soll eine Induktivität von 10 µH, einen reellen Widerstand von R1 = 1 mΩ und keine parasitäre Parallelkapazität haben (C1 = 0 pF):
Ersatzschaltbild der fast idealen Spule
Die untere Zeile bedeutet, daß eine lineare AC-Simulation von 1 Hz bis 5 MHz und 500 Punkten durchgeführt wird. Hier die grafischen Ergebnisse:
AC Simulation der fast idealen Spule
Die Simulation zeigt oben den Scheinwiderstand Z (siehe (4)), in der mittleren Grafik die Induktivität der Spule (nach Gleichung (3)) und unten ihre Güte (nach (5)). Alle drei Parameter werden aus der komplexen Impedanz Z errechnet, die der Quotient der angelegten komplexen Spannung und dem daraus resultierenden komplexen Strom ist. LTSpice errechnet die Impedanz über die Formel Z = V(V1)/-I(V1). Das negative Vorzeichen beim Strom ergibt sich aus der Stromrichtung.
Durch Vektoraddition des Real- und Imaginärteils dieser Impedanz ergibt sich ein Summenvektor, dessen Länge der Scheinwiderstand Z = |Z| ist. LTSpice errechnet die Länge eines Vektors mit der Funktion mag():
Z = |Z| = mag(V(v1)/-I(V1))
Die Formel für den Blindwiderstand der Spule (3) wird nach der Induktivität aufgelöst also gilt L = X / ω:
L = 10∗∗6∗im(V(v1)/-I(v1))/w
Netterweise kennt LTSpice auch die Kreisfrequenz ω (= 2πf), die mit dem lateinischen Buchstaben „w“ in die Formel eingegeben wird. Dieser Ausdruck wird noch mit 106 multipliziert, damit das Ergebnis in µH angezeigt wird. Die dargestellte Einheit für die y‑Achse möge man hier ignorieren, es sollte tatsächlich µH sein, der Zahlenwert ist korrekt. Die Induktivität ist über die Frequenz konstant, so wie man es von einer idealen Spule erwartet.
Im unteren Diagramm ist die Spulengüte Q dargestellt, die nach (5) errechnet wird:
im(V(v1)/-I(V1))/Re(V(v1)/-I(V1))
Da der Blindwiderstand bei der idealen Spule linear mit der Frequenz steigt und der Wirkwiderstand konstant bleibt, steigt die Güte der Spule linear mit der Frequenz. Hier sieht man, warum eine „fast“ ideale Spule mit einem sehr geringen Wirkwiderstand größer als null gewählt wurde: die Güte würde sonst unendlich hoch (LTSpice fängt den Fehler der Division durch null ab, stellt aber keine Kurve dar). Bei einer realen (nicht supraleitenden) Spule sind die hier errechneten Güten von einigen 100k natürlich nicht erreichbar. Reale Spulen haben Güten zwischen 100 und 1000, mit Abweichungen nach oben und unten. Die Güte wird hier noch mit der Funktion abs() auf positive Werte umgerechnet. Wie sich später zeigen wird, würde sie sonst jenseits der Selbstresonanzfrequenz negativ, weil die Spule dann zu einem Kondensator mutiert.
Simulation realer Spulen
Eine reale Spule ist leider niemals ideal. Neben ihrer Induktivität L hat sie eine signifikante parallele Kapazität C und einen Wirkwiderstand R größer null:
Einfaches Ersatzschaltbild einer realen Spule
Den Wirkwiderstand bildet im wesentlichen der frequenzabhängige Widerstand des Wickeldrahtes. Er steigt wegen des Skin-Effekts und des Proximity-Effekts mit der Frequenz. Die Parallelkapazität C kommt durch die Nähe der einzelnen Windungen und der Anschlußdrähte zustande. R und C sind also konstruktionsabhängig und können daher in weiten Bereichen variieren. Nur um ein Gefühl zu bekommen: bei den für Amateurfunkzwecke im Kurzwellenbereich benötigten Spulen von etwa 50 nH ~ 25 µH, die mit Kupferdraht von ein bis zwei Millimeter Durchmesser gewickelt werden, liegt R in der Größenordnung von wenigen Ohm und C in der Größenordnung von wenigen Pikofarad.
L und C bilden einen Parallelschwingkreis, der die Nutzbarkeit der Spule schon deutlich unterhalb seiner Selbstresonanzfrequenz einschränkt. Bei Frequenzen oberhalb der SRF ist die Spule als solche völlig unbrauchbar, denn sie ist keine Spule mehr, sondern sie wirkt wie ein Kondensator. Wegen der Parallelkapazität C steigt der Blindwiderstand der Spule schon unterhalb der SRF nicht mehr proportional mit der Frequenz an, so wie es bei der idealen Spule der Fall wäre. Der Kondensator bewirkt einen überproportionalen Anstieg des Blindwiderstandes, der dann bei der Selbstresonanzfrequenz unendlich groß wird.
R aus dem obigen Ersatzschaltbild bestimmt damit also umgekehrt proportional die Güte der Spule: je kleiner R ist, umso höher ist die Güte. Da XL mit der Frequenz steigt, steigt also auch die Spulengüte mit der Frequenz. Das schauen wir uns jetzt mal in der Simulation an.
Simulation einer fast realen Spule
Schauen wir zunächst einmal, was passiert, wenn der Wirkwiderstand auf etwas übertriebene 10 Ω erhöht wird und die Parallelkapazität weiterhin entfällt:
Ersatzschaltbild der fast realen SpuleAC Simulation der fast realen Spule
Der Scheinwiderstand kann nicht niedriger als der Wirkwiderstand sein. Er ist daher auch bei niedrigen Frequenzen nicht nahe null, sondern er startet bei den vorgegebenen 10 Ohm. Bei steigenden Frequenzen wird der Wirkwiderstand gegenüber dem Blindwiderstand immer weniger signifikant, so daß sich der Scheinwiderstand zu höheren Frequenzen hin nicht sichtbar von der vorigen fast idealen Simulation unterscheidet.
Die Induktivität bleibt auch hier konstant über der Frequenz. Auch die Güte bleibt linear frequenzabhängig, fällt aber signifikant ab. Das ist natürlich kein Wunder, denn der Wirkwiderstand steht im Nenner und geht umgekehrt proportional in die Güte ein.
Simulation einer realen Spule
Soweit war das zu erwarten. Jetzt schalten wir noch einen Kondensator von (relativ realen) 10 pF parallel und schauen uns das Ergebnis an:
Ersatzschaltbild der realen Spule
Zu Beachten ist, daß diesmal die Simulation bis 12 MHz und damit nahe an die SRF der Spule von knapp 16 MHz geht.
AC Simulation der realen Spule
Scheinwiderstand, errechnete Induktivität und Güte ändern sich nun signifikant und nicht mehr linear mit der Frequenz. Bei niedrigen Frequenzen bleibt die Induktivität bei 10 µH und steigt dann mit der Frequenz stark an. Bei 12 MHz hat sie schon eine errechnete Induktivität von 23 µH. Die Güte der realen Spule steigt zunächst mit der Frequenz an, erreicht (hier bei etwa 9 MHz) ein Maximum und fällt dann wieder ab.
Bei diesen Simulationsergebnissen stellt sich sofort die Frage, ob die Simulation korrekt ist. Es sei hier vorweggenommen, daß die Messungen an realen Spulen mit dem VNWA dieselben Ergebnisse liefern, die Induktivität der Spule steigt mit der Meßfrequenz an. Hat die Spule also bei 12 MHz tatsächlich mehr als die doppelte Induktivität als bei 6 MHz? Welcher Wert gilt denn nun?
Bauen wir einfach mal einen Parallelschwingkreis für 12 MHz. Aus der bekannten Thomsonschen Schwingungsgleichung berechnen wir die notwendige Parallelkapazität.
Resonanzfrequenz:
1
f0 = ───────────────
_____
2 ⋅ π ⋅ ╲╱L ⋅ C
(6)
Für L = 10 µH errechnet man für 12 MHz eine Parallelkapazität von 17,6 pF. Zu den bereits parasitär vorhandenen 10 pF müssen wir also 7,6 pF für die Resonanz hinzufügen. Rechnen wir mit der simulierten bzw. gemessenen Induktivität von 23 µH bei 12 MHz, die schon die 10 pF enthält, dann kommen wir ebenfalls auf 7,6 pF. Für einen Parallelschwingkreis sind also beide Induktivitäten korrekt und führen zum selben Ergebnis. Gleiches gilt für den Serienresonanzkreis.
Zusammengefasst: nimmt man zur Schwingkreisberechnung die bei niedriger Frequenz gemessene Induktivität, so muß man für den Kondensator immer noch die tatsächliche parasitäre Kapazität berücksichtigen, also von der errechneten Kapazität abziehen. Nimmt man die bei der Sollfrequenz gemessene Induktivität für die Berechnung, dann ist die parasitäre Kapazität bereits „eingepreist“ und man berechnet nur noch die zusätzlich benötigte Kapazität.
Die Güte steigt zunächst recht linear mit der Frequenz an, so wie bei der idealen Spule. Sie erreicht aber ein Maximum und wird bei der SRF zu null, weil dann der Wirkwiderstand sehr groß wird.
Simulation einer realen Spule bis oberhalb der Selbstresonanzfrequenz
Nachfolgend noch eine Simulation der realen Spule bis 20 MHz, also über die SRF hinaus.
Ersatzschaltbild der realen Spule bis über die Selbstresonanzfrequenz hinausAC Simulation der realen Spule bis über die Selbstresonanzfrequenz hinaus
Hier sieht man das Verhalten bei der Selbstresonanzfrequenz von knapp 16 MHz. Der Scheinwiderstand wird sehr hoch, so wie man das von einem Parallelschwingkreis erwartet. Bei der SRF werden Induktivität und Güte rechnerisch zu null, darüber haben wir es mit einem Kondensator zu tun. Die Impedanz wird negativ und die Güte wird von der deutlich höheren Güte des Kondensators bestimmt.
Diese Simulation erlaubt mit der nach C umgeformten Thomsonschen Schwingungsgleichung (6) die Berechnung der parasitären Kapazität: C = 1/(L∗ω2). Mit der bei niedrigen Frequenzen gemessenen Induktivität von 10 µH und der SRF bei 15,9 MHz ergibt sich dann die parasitäre Kapazität von 10 pF.
Soweit zur Spice-Simulation elektrischer Spulen. Im nächsten Teil dieser Serie sollen real gewickelte Spulen mit dem VNWA gemessen und bewertet werden.
Wie schon im vorigen Beitrag zu dem Frequenzzähler angedeutet, habe ich eine neue Version entwickelt, die einige Nachteile behebt. Nun ist ein USB-RS232-Konverter integriert, die CPU ist direkt auf die Leiterplatte gelötet und der Quarzoszillator ist thermisch eng mit dem Temperatursensor gekoppelt. Der Zähler wird jetzt, so wie man das von einem modernen PC-Peripheriegerät erwartet, direkt über das USB-Interface versorgt. Ein separates Netzteil ist nicht mehr nötig. Die Stromaufnahme liegt bei unter 100 mA. Die Funktionsweise ist weitgehend kompatibel zur alten Version, aber das CPLD-Pinout unterscheidet sich aus Gründen des einfacheren Routings. Mit einer Größe von 75 mm x 100 mm passt der Zähler nun in ein FISCHER Frame Gehäuse aus Aluminium.
Hier zunächst mal die 3D-Ansichten von KiCad und der Schaltplan:
Frequenzzähler V2.0, von obenFrequenzzähler V2.0, von unten
Seit der KiCad Version 6.0 sollten alle Daten in diesen Dateien enthalten sein, so daß sie sich direkt auf einem anderen PC öffnen und weiterbearbeiten lassen sollten.
Beschreibung
Auf der oberen linken Seite des Boards sieht man den USB-RS232-Konverter. Es handelt sich um ein kleines Board mit dem FT232R-Baustein von FTDI. Dieses Board ist für zwei bis drei Euro über die bekannten Online-Händler zu beziehen. Im Zehnerpack direkt aus China auch noch preiswerter.
Links unter dem FTDI-Board sieht man den Quarzoszillator und den Temperatursensor. Ein gefrästes PVC-Gehäuse sorgt für eine gewisse thermische Abschirmung, so daß die Temperatur des Quarzoszillators ziemlich genau gemessen werden kann. Dieses Gehäuse besteht aus zwei Teilen, die oben in der 3D-Ansicht semitransparent dargestellt sind. Durch einen kleinen Trick wird eine enge thermische Kopplung des Oszillators zu dem Temperatursensor sichergestellt. Der Temperatursensor im SOIC8-Gehäuse ist über einer rechteckigen Ausfräsung in der Leiterplatte montiert, in den der Quarzoszillator manuell von der anderen Seite montiert und über vier Drähte angeschlossen wird. Hier die 3D-Nahansicht von oben und unten ohne das PVC-Gehäuse:
TCXO von obenTCXO von unten
Der Frequenzzähler wird mit 3.3 V betrieben, weil das CPLD nicht mehr verträgt. Diese Versorgungsspannung wird mit einem kleinen Linearregler aus den 5 V vom USB Bus erzeugt. Der Microchip-Prozessor (ehemals Atmel) ATMEGA644 kommuniziert über seinen UART und das FTDI-Board mit dem PC und über Port-Pins per Bit-Banging mit der Logik im CPLD. Das CPLD-Interface ist selbstgestrickt und folgt keinem Standard, zum Host wird wieder das Modbus Protokoll verwendet. Die Logik im CPLD entspricht im wesentlichen dem der vorherigen Version, nur das Pinout ist geändert und hier sind keine LEDs und kein DIP-Schalter mehr angeschlossen. Die CPU hat keinen eigenen Quarz mehr, sondern sie wird mit dem auf 10 MHz heruntergeteilten Takt des 100 MHz Quarzoszillators betrieben.
Die Takteingänge clk1 und clk2 sind wie in der vorigen Version mit 50 Ω Widerständen terminiert und über einen einstufigen AC-gekoppelten Transistorverstärker in Emitterschaltung an das CPLD angeschlossen. Um auch niedrige Frequenzen bis hin zu DC zu unterstützen, wurde der clk3-Eingang vorgesehen. Er ist über einen 100 Ω Widerstand direkt an das CPLD angeschlossen, das zum Schutz noch zwei Schottky-Dioden gegen GND und VCC geschaltet hat. Die etwas seltsam anmutende Ausführung mit Doppeldioden ist der zum Designzeitpunkt einzig in der Bastelkiste verfügbaren Variante BAS70-05W geschuldet. Inzwischen ist auch die BAV99W-Variante in hinreichenden Stückzahlen eingelagert, die dann bei einem eventuellen Redesign eingesetzt würde.
Oberer und unterer Rand der Platine sind beidseitig vom Lötstopplack befreit. Die Kupferflächen sind jeweils an GND angeschlossen und stellen so einen Kontakt zum Gehäuse her. Das ist bei einem Aluminiumgehäuse naturgemäß unzuverlässig, daher sind die zwei Flachstecker TP4 und TP5 vorgesehen, über die zusätzlich ein Massekabel mit dem Gehäuse verbunden werden kann.
Hier noch ein paar Fotos des fertigen Gerätes:
TCXO von oben mit abgenommener Haube. Blick auf den Temperatursensor.TCXO von unten mit abgenommener Haube. Blick auf den Quarzoszillator.TCXO von oben mit Haube. TCXO von unten mit Haube. Gehäuseeinbau des FrequenzzählersGehäuseeinbau des FrequenzzählersGehäuseeinbau des FrequenzzählersGehäuseeinbau des FrequenzzählersRückseite des FrequenzzählersVorderseite des Frequenzzählers
Die SMA-Buchsen an der Vorder- und Rückseite werden über kurze RG174-Koax-Kabel an die Leiterplatte angeschlossen. Weil die Buchse des USB-RS232-Konverters etwa 1 mm von der Rückwand entfernt ist, die außerdem 2 mm dick ist, reichte ein kleiner Durchbruch leider nicht aus. Daher musste er leider so groß gefräst werden, daß der gesamte Stecker hineinpasst. Neben dem clk3-Eingang und der USB-Buchse ist auf der Rückseite auch noch eine Flügelschraube zur Erdung des Gerätes angebracht. Das wird normalerweise nicht nötig sein, könnte aber bei größeren HF-Leistungen in der Umgebung hilfreich sein.
Nachdem ich die letzten Wochen damit verdaddelt habe, meinen neuen Notebook soweit herzurichten, daß er wieder mit allen benötigten Programmen rund läuft, komme ich nun endlich dazu, das PC-Interface zum Frequenzzähler zu beschreiben.
Wie bereits im ersten Teil beschrieben, benutzt der Frequenzzähler wieder ein RS485-Interface zur Kommunikation mit dem PC. Das ist ein sehr störsicheres Interface, wenn man längere Strecken bis über 1 km zuverlässig überwinden muß. Daher habe ich es für die Kommunikation mit dem Antennenumschalter und dem Antennentuner verwendet, die immerhin 20 m vom Shack entfernt und höheren HF-Leistungen ausgesetzt sind. Das ist mit USB nicht mehr ohne weiteres zu machen. In diesem Fall ist RS485 aber eher suboptimal, weil der Zähler sowieso nahe am PC betrieben wird und weil immer einen USB-RS485-Umsetzer benötigt wird. Daher plane ich jetzt schon ein Redesign, das dann direkt einen FTDI USB-RS232-Umwandler beinhalten wird. Die entsprechenden Module sind ja für ein bis zwei Euro zu kaufen und auch in dem USB-RS485-Umsetzer verbaut. An der Software wird sich daher nichts ändern.
Die PC-Bedieneroberfläche
Die Bedienersoftware ist wie auch die für den Antennenumschalter und Tuner wieder für einen Windows-PC geschrieben. Der Frequenzzähler meldet sich über den USB-RS485-Umsetzer als COM-Schnittstelle an. Als Interface-Protokoll ist auch hier wieder der ModBus implementiert.
Der nachfolgende Screenshot zeigt die Benutzeroberfläche des Frequenzzählers:
Benutzeroberfläche des Frequenzzählers
Das Hauptfenster oben zeigt die gemessene Frequenz in Hz, die anderen Fenster und Steuerelemente dienen der Konfiguration, die nachfolgend kurz beschrieben werden soll. Es wird übrigens die europäische Zahlennotation angewendet, nach der ein Komma als Dezimaltrennzeichen und ein Punkt als Tausendertrennzeichen verwendet wird.
Fref
Fref ist die tatsächliche Referenzfrequenz in Hertz. Sie kann manuell in diesem Fenster eingegeben werden. Wenn der TCXO verwendet wird, wird die Referenzfrequenz aus der aktuell gemessenen Temperatur und einer hinterlegten Temperaturkurve errechnet.
Fref Precision
Hier wird die Genauigkeit der Referenzfrequenz in ppb (parts per billion = 10-9) angegeben. Daraus wird nach der Messung die Präzision des Meßergebnisses berechnet. Die Genauigkeit der üblichen Quarze und Quarzoszillatoren liegt in der Größenordnung von 10.000 ppb (= 10 ppm) und die Genauigkeit eines GPSDO ist besser als 1 ppb.
Timer Reload und Gate Time
Hier wird Anzahl der Takte zur Bestimmung der Torzeit oder direkt die Torzeit in Millisekunden eingetragen. Bei Änderung eines dieser Felder wird automatisch der andere Wert aus Fref und der Betriebsart (normal oder revers) errechnet.
Counter Temperature
Hier wird die momentane Temperatur des Frequenzzählers angezeigt. Der verwendete Sensor hat ein Genauigkeit von 0.5 K und eine Auflösung von 1⁄16 K. Er ist aber im jetzigen Modul so weit vom eingebauten Quarzoszillator entfernt, daß die Messung der Oszillatortemperatur ziemlich ungenau ist.
Resolution und Precision
In diesen Feldern wird nach der Messung die momentane Frequenzauflösung und die maximale Meßabweichung von der tatsächlichen Frequenz, also die Genauigkeit der Meßergebnisses, angezeigt. Die Frequenzauflösung hängt von den Einstellungen (z.B. der Torzeit) ab, während in die Präzision auch noch die Genauigkeit der Referenzfrequenz eingeht. Die Präzision ist eine Kombination aus dem in „Fref Precision“ eigegebenen Wert und der Frequenzauflösung. Daher ist die Präzision immer schlechter als jeder einzelne dieser Werte.
fref und fcheck Radiobuttons
Mit den fref- und fcheck-Auswahlknöpfen wird die Referenzfrequenz und die zu messende Frequenz ausgewählt. clk0 ist der Oszillator des CPU-Moduls, clk1 und clk2 sind die SMA-Buchsen mit nachfolgendem Vorverstärker und clk3 ist die Frequenz des eingebauten 100 MHz Quarzoszillators. Ein externer Referenzoszillator, z.B. ein GPSDO, wird an clk1 oder clk2 angeschlossen, an den verbleibenden Eingang kommt die zu messende Frequenz.
Prescaler
Mit dem Prescaler wird der Eingangsteiler ausgewählt, der den mit fcheck ausgewählten Takt durch 1, 2, 4 oder 8 teilt. Damit muß sichergestellt werden, daß fcheck kleiner als fref/2 ist.
TCXO
Wird hier ein Haken gesetzt, dann verwendet der Frequenzzähler den Oszillator des CPU-Moduls an clk0 oder den eingebauten Quarzoszillator an clk3 als Referenz und errechnet seine Frequenz anhand der momentanen Temperatur. Dessen Frequenzgang über der Temperatur muß vorher ausgemessen worden sein, wie in dem Beitrag zur Meßdatenanalyse mit LibreOffice beschrieben wurde.
Revers
Wird hier ein Haken gesetzt, arbeitet der Frequenzzähler im Reversbetrieb. Statt fref bestimmt dann fcheck die Torzeit und der Zähler zählt die Anzahl der fref-Takte während dieser Zeit.
Continuous
Ein Haken in diesem Feld führt dazu, daß der Zähler kontinuierlich zählt, statt nach einer Messung aufzuhören.
Open Log
Mit dieser Schaltfläche kann eine Logdatei geöffnet werden, in der im CSV-Format die Meßwerte abgelegt werden. Falls die Datei noch nicht existiert, wird sie neu angelegt, ansonsten fortgeschrieben.
Trigger Measurement
Mit dieser Schaltfläche wird die Messung gestartet und im Falle der kontinuierlichen Messung auch wieder gestoppt.
Remote Device
Hier wird ein optionales, am RS485-Bus angeschlossenes Device adressiert, dessen Betriebstemperatur hier angezeigt und gelogged wird. Zu Testzwecken kann hier auch die Device-ID des Frequenzzählers angegeben werden. Damit wird auch in diesem Feld nochmal dieselbe Temperatur angezeigt, wie unter Counter Temperature.
Beispielmessung
In der ersten Messung wird die Frequenz des eingebauten 100 MHz Quarzoszillators mit einem GPSDO als Referenz gemessen.
Frequenz des eingebauten Quarzoszillators mit GPSDO gemessen.
Der Quarzoszillator ist an clk3 angeschlossen, der GPSDO an clk1. Es wurde eine Torzeit von 1 Sekunde gewählt und der Vorteiler teilt durch 4, damit die zu messende Frequenz niedriger als die halbe Referenzfrequenz ist. Daraus ergibt sich eine Auflösung von 4.0 Hertz. Für höhere Auflösungen muß die Torzeit verlängert werden. Wegen der hohen Genauigkeit des GPSDO von besser als 1 ppm, wird die Präzision des Meßergebnisses von der Auflösung dominiert.
Die nächste Messung mißt die Frequenz des Oszillators auf dem CPU-Board (clk0), die nominal 8 MHz beträgt.
Frequenz des CPU Taktes mit GPSDO gemessen.
Da die Referenzfrequenz weitaus höher ist, als die zu messende Frequenz, kann der Vorteiler auf 1 bleiben. Auch hier ist die Auflösung wieder ein Hertz, weil die Torzeit auf eine Sekunde eingestellt wurde.
Stellt man eine Torzeit von 40 Sekunden ein, dann verbessert sich die Auflösung auf 25 mHz und die Genauigkeit auf 33 mHz, wie der nachfolgende Screenshot zeigt:
Frequenz des CPU Taktes mit GPSDO gemessen. Torzeit 40 Sekunden.
Leider muß man dabei auch 40 Sekunden auf das Ergebnis warten. Man ignoriere hier den Timer Reload Wert. Der wird leider als vorzeichenbehaftete 32-bit Zahl dargestellt.
Damit man bei niedrigen zu messenden Frequenzen auch bei kurzer Meßdauer auf ein gut aufgelöstes Ergebnis kommt, benutzt man den Reversbetrieb. Dabei wird die Dauer der Referenzperiode mit dem hohen Referenztakt ausgemessen. Bei 100 MHz Referenzfrequenz erreicht man also eine Auflösung von 10 ns.
Das hier gezeigte Meßergebnis wurde im Reversbetrieb bei einer Sekunde Meßdauer erzielt. Es erreicht eine Genauigkeit von 88 mHz.
Frequenz des CPU Taktes mit GPSDO gemessen. Reversbetrieb, Torzeit 1 Sekunde.
Durch Verlängern der Meßdauer läßt sich auch im Reversbetrieb die Genauigkeit weiter steigern. Bei 10 Sekunden Meßdauer erreicht man eine Genauigkeit von 16 mHz.
Frequenz des CPU Taktes mit GPSDO gemessen. Reversbetrieb, Torzeit 10 Sekunden.
Verwendet man statt dem hochpräzisen GPSDO den auf dem Frequenzzähler verbauten 100 MHz Oszillator als Referenz, dann ist die Genauigkeit sehr viel geringer.
Frequenz des GPSDO mit eingebautem XO gemessen.
Hier ist der GPSDO auf den Meßeingang geschaltet, der für Amateurzwecke exakt 100 MHz Ausgangsfrequenz hat. Die Messung weicht also um 676 Hz von der tatsächlichen Frequenz ab und liegt damit innerhalb der durch die 10 ppm angegebenen Fehlergrenzen, die eine Abweichung bis 1004 Hz erlauben würden.
Wie oben schon beschrieben, kann der eingebaute Oszillator per Software temperaturkompensiert werden, indem man einen Haken bei TCXO setzt. Dadurch sinkt die Meßabweichung auf etwa 1 Hz, wie der nachfolgende Screenshot zeigt.
Frequenz des GPSDO mit eingebautem TCXO gemessen.
Für schnelle Messungen kann man so also auf den GPSDO verzichten und dennoch sehr genau messen.
Anhang
Nachfolgend werden die mathematischen Formeln zum Berechnen der gemessenen Frequenz und der jeweiligen Auflösung dokumentiert. Hier nochmal als Referenz das Blockdiagramm des Frequenzzählers:
Blockdiagramm des Frequenzzählers
In den unten dokumentierten Formeln werden folgende Bezeichner verwendet:
cntr: Counter-Register, 32 bit
prsc: selprsc[1:0], 2 bit
fref: f_ref, Referenzfrequenz
rld: Timer reload value, 32 bit
gt: gate time (Torzeit) [s]
Δ(f): Frequenzauflösung [Hz]
Hier kommt nun der erste Teil der Beschreibung des Frequenzzählers. Hier soll die Hardware besprochen werden, inklusive der Logik im verwendeten CPLD und der Software des Controllers.
Eine kurze Erwähnung fand der Zähler schon vor ein paar Wochen in der Übersicht der aktuellen Projekte. Dort findet sich auch der Schaltplan und die 3D-Ansicht, beides hier nochmal zum direkten Zugriff:
Der Frequenzzähler basiert wieder auf dem ATMEGA644-CPU-Board mit RS485-Schnittstelle, das sich inzwischen in unterschiedlichen Projekten bewährt hat. Dieses CPU-Board kommuniziert über eine synchrone serielle Schnittstelle mit dem in einem EPM240T100 implementierten Frequenzzähler. Die benötigte Geschwindigkeit ist unkritisch und daher wird diese Kommunikation auf dem CPU-Board über I/O‑Pins implementiert („bit-banging“). Da der EPM240 mit 3,3 V betrieben werden muß und keine 5‑V-toleranten I/O‑Pins hat, wird auch das CPU-Board mit 3,3 V betrieben. Das schränkt die Betriebsfrequenz auf maximal 10 MHz ein. Wegen der geringen Anforderungen an die Geschwindigkeit, wurde ein 8 MHz Quarz eingebaut.
Der Schaltplan zeigt unten die Spannungsversorgung und die Kontroll-LEDs, darüber zwei gleichartige Breitband-Verstärker in klassischer Emitter-Schaltung für den Eingangstakt. Sie sind eingangsseitig mit 50 Ω abgeschlossen und heben den Pegel von etwa 6 dBm (8 mA Treiberstärke) auf den für die CPLD-Takteingänge benötigten Hub von 3.3 V an. Wegen der Schmitt-Trigger-Eingänge darf es auch etwas weniger sein. Acht LEDs und vier DIP-Schalter können optional zur Statusanzeige und zur Konfiguration verwendet werden. Außerdem ist ein 100 MHz Quarzoszillator eingebaut sowie jeweils eine JTAG-Programmierschnittstelle für das CPU-Board und das CPLD.
Funktionsweise
Zur digitalen Bestimmung einer Frequenz gibt es prinzipiell zwei Methoden: man zählt die Anzahl der Takte während eines möglichst genau bekannten Intervalls oder man misst die Zeitdauer zwischen zwei oder mehreren Takten. Die erste Methode wird nachfolgend als Normalbetrieb bezeichnet, die zweite Methode als Reversbetrieb. Beide Verfahren benötigen eine möglichst präzise Referenzfrequenz.
Prinzipiell sind beide Betriebsarten gleichwertig, sie unterscheiden sich aber in der Dauer der Messung. Die Auflösung im Normalbetrieb ist umgekehrt proportional zum Messintervall. Um eine Auflösung von 1 Hz zu erreichen, muß man eine Sekunde lang messen, bei 0,1 Hz Auflösung schon zehn Sekunden. Den 32 kHz Takt einer Uhr kann man auf diese Weise in einer Sekunde also nur auf etwa 30 ppm genau messen (2-15).
Im Reversbetrieb teilt man den Takt der Uhr beispielsweise durch 215 und bekommt so auch ein Intervall von einer Sekunde. Zählt man in der Zeit die Takte einer 100 MHz Referenz, dann erreicht man auf eine Auflösung von 10 ns, was 0,01 ppm = 10 ppb entspricht.
Kurz zusammengefasst: damit das Messintervall kurz gehalten werden kann, wählt man den Normalbetrieb am besten bei hohen Frequenzen im Vergleich zur Referenzfrequenz, den Reversbetrieb bei niedrigen Frequenzen.
Das CPLD
Ein CPLD ist für diese Art von Aufgaben prädestiniert. Es besteht aus einer Anzahl Logik-Elemente, in diesem Fall 240 Blöcke, die weitgehend frei verschaltet werden können und über schnelle Verbindungen zu den Pins verfügen. Anders als die meisten FPGAs, haben CPLDs nichtflüchtige Speicher und müssen daher nicht bei jeden Systemstart neu konfiguriert werden. Man benötigt allerdings ein preiswertes Werkzeug, in diesem (Intel/Altera-) Fall den sogenannten USB-Blaster, um das CPLD in der Schaltung zu programmieren. Das kann man auch mehrfach machen, aber die Anzahl der Programmierzyklen ist auf etwa 100 beschränkt, während der Flash-Speicher einer CPU normalerweise auch 10.000 bis 100.000-mal programmiert werden kann.
Die Logik wird in einer Programmiersprache ähnlich einer Software-Programmiersprache eingegeben. Zwei Sprachen haben sich etabliert, VHDL und Verilog. Verilog hat Elemente der Programmiersprache „C“ und ist für jemanden, der diese Sprache kennt, relativ leicht zu erlernen. Der Unterschied ist freilich, daß Software im wesentlichen sequenziell abgearbeitet wird, während in Hardware vieles gleichzeitig passiert. Wie auch bei der Softwareprogrammierung benötigt man Werkzeuge, die den erstellten Quellcode in ein Binärformat umwandeln, das man in das CPLD laden kann. Diese Werkzeuge stellt der Hersteller der Logikbausteine, gegebenenfalls in einer abgespeckten Version, kostenlos zur Verfügung. Im Falle Intels ist das die „Quartus“-Entwicklungsumgebung, die sogar eine angepasste Version des Mentor ModelSim Simulators enthält, der in der Vollversion auch in der professionellen Chip-Entwicklung verwendet wird.
Blockdiagramm des Frequenzzählers
Genau wie beim Entwurf einer diskret aufgebauten Schaltung, sollte man sich auch bei einem CPLD (oder FPGA) ein Blockdiagramm erstellen, das die Funktionsblöcke darstellt. Die können dann bei Bedarf hierarchisch weiter verfeinert werden, was aber bei dem relativ einfachen Zähler hier nicht notwendig ist.
Blockdiagramm des Frequenzzählers
Dieses Diagramm zeigt nur die Logik des Zählers, nicht das CPU-Interface. Zunächst gibt es die vier Takteingänge clk0 .. clk3, die über den Eingangsmultiplexer verteilt werden. clk1 und clk2 sind über die oben beschriebenen Vorverstärker mit den beiden SMA-Buchsen verbunden und für den Referenztakt und die zu messende Frequenz vorgesehen. clk0 ist fest mit dem CPU-Takt verbunden und clk3 wird von dem 100 MHz Quarzoszillator betrieben.
f_check ist die zu messende Frequenz, die über einen optionalen Vorteiler auf die Referenzfrequenz f_ref synchronisiert wird. Daher muß die Referenzfrequenz mindestens doppelt so hoch sein, wie die ggf. heruntergeteilte zu messende Frequenz. Der Eingangsmultiplexer bestimmt, welcher der vier Takteingänge auf f_check und f_ref geschaltet wird. Es gibt hier keine Einschränkungen, zu Testzwecken kann auch derselbe Takt auf beide Signale geschaltet werden.
Die Referenzfrequenz wird üblicherweise in der Größenordnung von 50 bis 100 MHz liegen und wenn die zu messende Frequenz mehr als halb so hoch ist, muß sie mit dem Prescaler heruntergeteilt werden.
Der eigentliche Zähler besteht aus einem 32-bit breiten Register, dessen Inhalt von der CPU eingelesen werden kann, sinnvollerweise nachdem die Messung beendet ist und der Wert sich nicht mehr ändert. Der ebenfalls 32-bit breite programmierbare Teiler wird beim Start des Meßzyklus mit dem Wert des Timer-Reload-Registers geladen und anschließend heruntergezählt. Er bestimmt damit die Torzeit, also wie lange der Zähler zählen soll. Der Meßzyklus wird beendet, sobald dieser Timer null erreicht. Ein kompletter Meßzyklus besteht aus der Konfiguration des Frequenzzählers (Wahl der Takteingänge, der Betriebsart und Einstellung des Vorteilers), Setzen des Reload-Registers und Triggern der Messung, womit gleichzeitig der Zähler auf null gesetzt wird. Ein Statusflag zeigt an, wenn der Meßzyklus beendet ist und das Ergebnis ausgelesen werden kann.
Timer, Zähler und Steuerlogik liegen in der Clock-Domäne des ausgewählten Referenzsignals, während die von der CPU geschriebenen Konfigurations- und Status-Register in der Clock-Domäne des CPU-Boards liegen (clk0). Die Simulation ergibt eine maximale Eingangsfrequenz von 120 MHz für die Takteingänge des Frequenzzählers und über 50 MHz für das CPU-Interface. Bei Betrieb mit 100 MHz ist man also auf der sicheren Seite und die 32-bit Zähler können dann über 80 Sekunden zählen, ohne überzulaufen.
Im Normalbetrieb wird die Torzeit von der Referenzfrequenz bestimmt und die Anzahl der steigenden Flanken von f_check wird in diesem Intervall gezählt. Im Reversbetrieb bestimmt f_check die Torzeit währenddessen die Anzahl von f_ref Flanken gezählt wird.
Verilog Code
Hier ist nun der Verilog-Code des Frequenzzählers und die notwendigen Projektdateien für die Quartus-Entwicklungsumgebung. Gegebenenfalls müssen Dateipfade angepasst werden.
Das eigentliche Design steckt in der Datei Datei FreqCntr.v, die hinreichend gut kommentiert sein sollte. Zu beachten ist, daß die ursprünglich geplante Parametrisierung über die Parameter COUNTERW, TIMERW und IOREGW nicht konsequent verfolgt wurde. Sie sollten auf ihren Default-Werten bleiben.
FreqCntr_EPM240.v instanziiert den Frequenzzähler für das EPM240 CPLD auf dem Frequenzzähler-Board. Die beiden weiteren Verilog Dateien FreqCntr_tb_Counter.v und FreqCntr_tb_Serial_IO.v enthalten die ModelSim-Testbenches für den Zähler und die serielle CPU-Schnittstelle. Die zugehörigen Skripte tb_Counter.do und tb_Serial_IO.do werden in ModelSim ausgeführt und starten den jeweiligen Test.
Nachtrag: Quartus Prime V21.1
Nachdem ich mir vor ein paar Wochen einen neuen Notebook geleistet habe (der alte war tatsächlich mittlerweile neun Jahre alt), habe ich die jeweils neuesten Versionen der Entwicklungsumgebungen installiert, für CPLDs und FPGAs von Intel (früher Altera) also Quartus V21.1. Dieses Paket beinhaltet nicht mehr Modelsim, sondern dessen Nachfolger Questa (beide von Mentor). Die Bedieneroberfläche ist praktisch gleich geblieben, aber es ist nun eine 64-bit Version und die Simulationsgeschwindigkeit ist beeindruckend (was teilweise auch am neuen Notebook liegen könnte). Leider benötigt diese Version eine zeitlich auf ein Jahr befristete Lizenz, die aber kostenlos ist und danach auch verlängert werden kann.
Folgendes ist zu beachten: die alten mit Modelsim erstellten Projekte sollten durch neue mit Questa erstellte Projekte ersetzt werden. Die alten Projektdateien enthalten Abhängigkeiten, die mit Questa nicht mehr funktionieren. Außerdem muß das „vsim“-Kommando einen Parameter für den Optimizer enthalten (voptargs=“+acc=prn“), damit die Namen der Ports (p), Register (r) und Netze (n) als Debuginformationen erhalten bleiben. Das vollständige vsim-Kommando lautet also beispielsweise folgendermaßen:
vsim <testbench> -voptargs="+acc=prn" -t 1ns
Das sollte dann in den Testbenches tb_*.do entsprechend geändert werden.
ATMEGA644-Code
Die Software, die auf dem ATMEGA644 ausgeführt wird, kann hier als Referenz heruntergeladen werden.
Ich verwende Atmel Studio 7.0 als Entwicklungsumgebung, habe aber keine Projektdateien dazugefügt. Vermutlich hat sowieso jeder seine eigene Philosophie bezüglich der Pfade. Das 7z-Archiv enthält auch eine PDF-Datei mit weiteren Beschreibungen.
Im kommenden zweiten Teil soll die PC-Software zur Bedienung des Frequenzzählers beschrieben werden.
Schon vor ein paar Monaten habe ich ein kleines Programm geschrieben, das eine PNG Grafik-Datei in eine Audio-Datei umwandelt.
Sample input file
Spectrum of output file
Dieses Programm ist nun soweit, daß man es weitergeben kann. Es hat sicher hier und da noch ein paar Macken, daher will ich das nicht als „Release“ bezeichnen und bleibe bei einer Versionsnummer kleiner als 1.0. Es ist eine reine Spielerei.
Die Audiodatei lässt sich mit dem VLC Media Player abspielen, der es gestattet, einen anderen Audio-Ausgang zu wählen, als den Lautsprecher am PC. Im Menü Audio -> Audiogerät kann man den Audio-Eingang eines angeschlossenen Transceivers wählen und so die Audiodatei direkt senden.
Transmitted spectrum (start)
Transmitted spectrum (middle)
Transmitted spectrum (end)
Aber bitte nicht die Mitmenschen damit ärgern. Beim ersten- und zweitenmal ist das ganz spaßig, aber dann nervt es…
In der Entwicklungsphase des noch zu beschreibenden Frequenzzählers habe ich einige Meßreihen erstellt. Eine davon war der Frequenzgang eines 8 MHz Quarzes auf dem CPU-Board, die andere der Frequenzgang eines 100 MHz Quarzoszillators auf dem Frequenzzähler selbst. Beide Frequenzgänge wurden über die Temperatur gemessen, die mit Kältespray (Butangas, nicht Rauchen, kein offenes Feuer aber offene Fenster!) bzw. einem Föhn geändert wurde.
In beiden Fällen wurde die Temperatur mit dem Temperatursensor auf dem CPU-Board gemessen, einem TMP275. Zwischen ‑40 °C und +125 °C hat er eine Toleranz von +/- 1 °C. Die tatsächliche Temperatur des Quarzes und besonders des Quarzoszillators dürften um einige °C von der gemessenen Temperatur abweichen, weil sie etwas entfernt davon montiert sind. Es soll hier aber nicht um die Präzision der Messung gehen, sondern einzig und allein um die Auswertung mit Libreoffice Calc. Der Frequenzzähler speichert die Meßdaten in einem CSV-File ab, das mit LibreOffice direkt eingelesen werden kann. Die beiden OpenOffice Calc Dateien stehen als Referenz und für eigene Experimente zum Download bereit:
In der ersten Tabelle der jeweiligen Datei stehen die original Meßdaten. Die weiteren Tabellen sind nachfolgend beschrieben.
Auswertung
Zur Auswertung empfiehlt es sich, zunächst eine Pivot-Tabelle („Daten->Pivot-Tabelle->Einfügen) zu erstellen. Als Zeilenfelder wählt man die Temperatur und als Datenfelder die gemessene Frequenz Fcheck. Für die Datenfelder interessiert uns aber nicht die Summe, sondern der Mittelwert. Das muß vor dem Erzeugen der Pivot-Tabelle eingestellt werden. Nun sucht Calc alle in der Tabelle vorkommenden Temperaturen, sortiert sie aufsteigend und ordnet jeder Temperatur den Mittelwert aller für diese Temperatur gefundenen Meßwerte zu. So erhalten wir eine Tabelle der gemittelten Meßwerte von etwa ‑30 °C bis +70 °C (Tabelle: „Pivot-Tabelle“).
Da wir einen 8 MHz bzw. einen 100 MHz Quarzoszillator gemessen haben, liegen alle Meßwerte ziemlich nahe bei 8.000.000 Hz oder 100.000.000 Hz. Ohne vernünftige Skalierung sieht man da nur eine horizontale Linie über der Temperatur. Damit die Meßwerte sinnvoll dargestellt werden können, erstellt man in diesem Fall am besten eine Spalte mit der Differenz der Meßwerte zum Nominalwert, denn alle Werte weichen nur sehr wenig davon ab. Dieses Delta läßt sich dann grafisch über der Temperatur darstellen.
Originaldaten des 8 MHz Quarzoszillators
nur langsame Phase
Originaldaten des 100 MHz Quarzoszillators
nur langsame Phase
Die linken Diagramme zeigen die unveränderten Originaldaten. Man erkennt deutlich den Temperaturgang, aber die vielen Ausreißer sind erschreckend. Die Originaldaten enthalten die sehr schnelle Abkühlphase mit Kältespray und die fast genauso schnelle Aufheizphase mit dem Föhn. Daran schließt sich jeweils eine Phase langsamen Aufheizens bzw. langsamen Abkühlens auf Zimmertemperatur an.
Die rechten Diagramme zeigen nur die langsamen Phasen und die Ausreißer sind hier komplett verschwunden (Tabellen: „Auswahl“ und „Pivot-Tabelle_1“). Die Kurvenform bleibt unverändert. Offensichtlich tun in beiden Fällen die schnellen Temperaturänderungen nicht gut, die Schwingung reißt vermutlich kurzzeitig ab.
Erzeugen einer Ausgleichskurve
Alle weiteren Auswertungen erfolgen nun mit den beiden „langsamen Kurven“, denn sie spiegeln offensichtlich die wahren Verhältnisse. Das Ziel ist nun, die jeweilige Kurve so zu glätten, daß die geglättete Kurve möglichst genau der gemessenen Kurve entspricht, ohne deren Meßabweichungen abzubilden. Die Standardmethode zum Erzeugen einer sogenannten Ausgleichskurve ist die Ausgleichsrechnung. Für ein mathematischen Lösungsverfahren muß dieser Ausgleichsrechnung ein Modell zugrunde liegen. Im allgemeinen Fall ist das ein Polynom der Form
y = a0 + a1 * x + a2 * x2 + … + an * xn
In der Praxis muß man diese Reihe natürlich frühzeitig irgendwo abbrechen, denn sonst wird der Rechenaufwand immer größer. Es sei vorab verraten, daß bei den gezeigten Kurven mindestens ein Polynom dritten Grades nötig ist, also n = 3. Das liegt an den zwei lokalen Minima bzw. Maxima (jeweils grob bei 0 °C und bei 60 °C), bei denen die erste Ableitung des Polynoms null sein muß. Um zwei Nullstellen zu haben, muß die erste Ableitung aber mindestens einen quadratischen Term haben.
Probieren wir dennoch zum Spaß und zu Übungszwecken einfach mal eine Gerade aus, brechen also nach n = 1 ab (Tabelle „Ausgleichsgerade“):
y = a0 + a1 * x
Wir tragen wenn möglich gut erratene Startwerte für die Parameter a0 und a1 in jeweils eine Zelle der Tabelle ein (hier C2 und C3). In eine Spalte (hier: Spalte E) neben den Meßwerten tragen wir dann die Formel für die Gerade ein, mit Bezug auf die Parameter ($C$2 und $C$3) und füllen diese Spalte nach unten auf (obere Zelle und alle Zellen bis zum Ende der Daten auswählen und Strg‑D drücken).
In einer weiteren Spalte berechnen wir dann das Quadrat des Fehlers, den der so errechnete Punkt zum tatsächlich gemessenen Wert hat (hier: Spalte F). Auch diese Spalte füllen wir nach unten auf und errechnen in einer weiteren Zelle (G2) die Summe all dieser Fehlerquadrate. Das Ziel ist nun, a0 und a1 (C2 und C3) so zu bestimmen, daß die Summe der Fehlerquadrate minimal wird.
Von Hand ist das ausgesprochen mühsam, aber zum Glück bietet Calc dafür eine automatische Lösung, den „Solver“. Man startet Extras->Solver und gibt die Zelle mit der Summe der Fehlerquadrate (hier G2) als Zielzelle an. Der Zielwert soll minimal werden und als veränderliche Zellen geben wir C2 und C3 in der Form $C$2:$C$3 an. Der Solver rechnet nun einige Sekunden, denn er muss die Werte in C2 und C3 solange anpassen, bis er einen Minimalwert findet.
8 MHz Quarzoszillator mit Ausgleichsgerade
100 MHz Quarzoszillator mit Ausgleichsgerade
Wie die beiden Diagramme zeigen, findet der Solver nach einigen Sekunden einen plausiblen Wert. Die orange dargestellten Geraden nähern die gemessene Kurve bestmöglich an. Bei nur zwei Variablen und den linearen Eigenschaften einer Geraden kann man auch sicher sein, ein echtes Minimum gefunden zu haben.
Ausgleichskurve mit Polynomen
Die Ausgleichsgerade aus dem vorigen Kapitel ist besser als nichts, aber sie befriedigt nicht wirklich. Für bessere rechnerische Annäherung an die Meßkurve kommt man nicht umhin, höhergradige Polynome zu verwenden. Der Rechenweg unterscheidet sich dabei nicht grundlegend von dem der Ausgleichsgeraden, nur die Formel wird etwas komplizierter. Wir nehmen einfach weitere Terme der Form anxn dazu.
Je größer n wird, je höher also die Ordnung des Polynoms wird, umso genauer können wir die Meßkurve annähern. Probieren wir es der Reihe nach durch, zunächst mit einem Polynom zweiten Grades:
8 MHz Quarzoszillator mit Polynom zweiten Grades
100 MHz Quarzoszillator mit Polynom zweiten Grades
Aus den oben schon genannten Gründen verwundert es nicht, daß das die Meßkurve noch nicht trifft. Wie erwartet gibt es nur einen lokalen Extremwert, ein Minimum bei etwa 20 °C. Versuchen wir es nun mit einem Polynom dritten Grades:
8 MHz Quarzoszillator mit Polynom dritten Grades
100 MHz Quarzoszillator mit Polynom dritten Grades
Damit kommen wir der Form der gemessenen Kurve schon sehr nahe. Gleichzeitig wird die Summe der Fehlerquadrate mit steigendem Grad des Polynoms immer kleiner.
Um es auf die Spitze zu treiben, kann man für den 100 MHz Quarzoszillator auch ein Polynom vierten und fünften Grades ausprobieren, das weitere kleine Verbesserungen bringt:
8 MHz Quarzoszillator mit Polynom vierten Grades
100 MHz Quarzoszillator mit Polynom vierten Grades
8 MHz Quarzoszillator mit Polynom fünften Grades
100 MHz Quarzoszillator mit Polynom fünften Grades
Temperaturkompensation per Software
Das sind nette Spielereien mit einem Spreadsheet-Programm, aber was bringt das ganze nun? Ganz einfach, das so gefundene Polynom gestattet uns eine softwaregesteuerte Temperaturkompensation. Wir können die mutmaßliche tatsächliche Frequenz des Oszillators bei einer bestimmten Temperatur aus seiner Nominalfrequenz annähern.
Das zeigt die Tabelle Poly_n5 für beide Quarzoszillatoren. In der Spalte H wurde die nach der Kompensation verbleibende Abweichung zur gemessenen Frequenz errechnet und in Spalte I in ppm (parts per million) umgerechnet. Die verbleibende Abweichung liegt nun außer an den Temperaturgrenzen bei weniger als 1 ppm. Die unkompensierte Abweichung ist zum Vergleich in Spalte J dargestellt und deren Maximum liegt bei knapp 40 ppm bzw. gut 16 ppm, was für einen mit +/- 25 ppm spezifizierten Quarz auch schon recht gut ist.
8 MHz Quarzoszillator unkompensiert
8 MHz Quarzoszillator temperaturkompensiert
100 MHz Quarzoszillator unkompensiert
100 MHz Quarzoszillator temperaturkompensiert
Man beachte die unterschiedliche Skalierung der y‑Achsen. Von den extremen Temperaturbereichen abgesehen, hat die Temperaturkompensation die Frequenzstabilität also mindestens um den Faktor 10 verbessert. Die deutlichen Abweichungen bei etwa 25 °C liegen an der Meßmethode, denn die Zimmertemperatur war jeweils der Endpunkt der Messungen. Hier gab es mutmaßlich Meßfehler durch den abgesetzten Temperatursensor auf dem CPU Board, der durch die Eigenerwärmung einige Grad mehr anzeigt, als beim Quarz wirklich herrschen.
Suchstrategien
Bei der hier gezeigten Meßdatenanalyse kommt der Calc-Solver schnell an seine Grenzen. Am Ende steht ein Polynom fünfter Ordnung mit sechs unbekannten Parametern a0 .. a5. Der Solver muß im Prinzip alle möglichen Parameter-Werte durchprobieren, die Quadratsumme bilden und versuchen, diese Summe zu minimieren. Ohne halbwegs passend gewählte Startwerte ist das ein Unterfangen, das auf heutigen Rechnern nicht lösbar ist. Der Suchraum ist unendlich groß und der Solver muß ihn auf irgendeine Weise einschränken. Seine Suche gilt als beendet, wenn die Quadratsumme bei jeder kleinen Änderung eines Parameters wieder größer wird. Dabei besteht aber immer die Gefahr, ein lokales Minimum zu finden, das weit weg vom tatsächlichen Minimum liegt. Es kann immer sein, daß hinter den Bergen bei den sieben Zwergen ein Minimum liegt, das tausendmal schöner als das bisher gefundene ist. Man sollte dem Solver also durch geeignete Anfangswerte helfen. Wie macht man das?
Sukzessive Erhöhung des Polynom-Grades
Die einfachste Methode, die hier auch angewendet wurde, ist die sukzessive Erhöhung des Polynom Grades. Man startet mit niedriger Ordnung und lässt den Solver dazu passende Parameter suchen. Geht man schrittweise zu höheren Ordnungen, dann sind diese Parameter zwar nicht mehr ganz richtig, aber auch nicht ganz falsch. Sie sind ein guter Startwert. Man kann auch zunächst mal nur den besten neuen Parameter suchen und erst dann eine weitere Suche über alle bisherigen Parameter starten. So verbessert sich das Ergebnis nach und nach.
Kurvendiskussion
Eine Kurvendiskussion kann beim Erraten günstiger Anfangswerte für die Parameter helfen. Zur Kurvendiskussion benötigt man die Ableitungen der Funktion. Gehen wir zunächst von einem Polynom dritten Grades aus, so ergeben sich folgende Ableitungen:
y = a0 + a1 * x + a2 * x2 + a3 * x3
y‘ = a1 + 2 * a2 * x + 3 * a3 * x2
y“ = 2 * a2 + 6 * a3 * x
Aus der ersten Gleichung erkennt man sofort, daß a0 = y(0) ist, denn wenn x = 0 ist, dann fallen alle anderen Terme weg. a0 ist beim 8 MHz Oszillator also etwa 212 und beim 100 MHz Oszillator etwa 355.
Die erste Ableitung einer Funktion ist an lokalen Extremwerten gleich null. Beim 100 MHz Oszillator finden wir ein lokales Minimum etwa bei x=3 und ein lokales Maximum bei etwa x=60. Mit der ersten Ableitung erhalten wir daraus zwei Gleichungen:
y‘ = a1 + 2 * a2 * 3 + 3 * a3 * 32 = 0
y‘ = a1 + 2 * a2 * 60 + 3 * a3 * 602 = 0
Aus zwei Gleichungen mit drei Unbekannten kann man durch Multiplikation mit einem geeigneten Faktor und anschließender Addition beider Gleichungen eine Gleichung mit zwei Unbekannten machen. Eliminieren wir zunächst a2 durch Multiplikation der ersten Gleichung mit ‑20 und anschließender Addition:
Damit haben wir eine direkte Abhängigkeit zwischen a1 und a3 bzw. a2 und a3 gefunden. Diese beiden Formeln kann man direkt in die Zellen für a1 und a2 eingeben und braucht sie dann nicht mehr in die Liste der Unbekannten für den Solver aufzunehmen. Der Suchraum ist also weiter deutlich eingeschränkt.
Können wir noch mehr tun? Ja klar, wir kennen nun Näherungswerte für a0, a1 und a2 und können die in die Gleichung des Polynoms einsetzen:
y = 355 + 540 * a3 * x – 94,5 * a3 * x2 + a3 * x3
Ohne zu vergessen, daß alles sowieso nur Näherungswerte sind, suchen wir aus der Meßreihe einen Wert x und den zugehörigen Wert y heraus. Dabei versuchen wir einen repräsentativen Wert zu finden, also Sonderfälle an den Temperaturgrenzen und auch die lokalen Extremwerte zu vermeiden. Wie wär’s, mehr oder weniger willkürlich, mit x=40 und y=773? Mit diesen Werten können wir nun einen plausiblen Startwert für a3 ausrechnen:
Aus dieser Gleichung ergibt sich a3 = ‑0,006372 und durch Einsetzen dieses Wertes in die oben schon gefundenen Gleichungen a1 = ‑3,44088 und a2 = 0,602154.
Damit haben wir dem Solver das Leben leichtgemacht. Wir haben plausible Startwerte für alle Parameter des Polynoms dritter Ordnung. Ohne den Solver auch nur zu bemühen, deckt sich diese Kurve schon erstaunlich gut mit der Meßkurve (links):
100 MHz Quarzoszillator mit Polynom dritten Grades aus der Kurvendiskussion
100 MHz Quarzoszillator mit Polynom dritten Grades
Rechts ist nochmal zum Vergleich das oben schon gezeigte Diagramm des mit dem Solver gefundenen Polynoms derselben Ordnung gezeigt. Über große Teile des Diagramms ist die Deckung des von Hand gefundenen Polynoms sogar besser. Allerdings ist die Summe der Fehlerquadrate dennoch höher, denn um den Diagrammteil bei hohen Temperaturen korrekt zu modellieren fehlen die höhergradigen Terme.
Ganz am Schluß kann man dann a0 bis a3 nochmal durch den Solver verbessern lassen. Der findet dabei tatsächlich eine bessere Lösung, als bei der Suche aufs Geratewohl im ersten Ansatz. Die geringste Summe der Fehlerquadrate ergibt sich bei a0 = 339,27, a1 = ‑3,023, a2 = 0,703 und a3 = ‑0,00858.
Mit demselben Vorgehen kann man natürlich auch den Fall des 8 MHz Oszillators nochmal durchspielen, was aber hier keine neuen Erkenntnisse mehr bringt. Das sei daher dem geneigten Leser überlassen.
Wie bereits im vorigen Beitrag über nützliche Websites in Aussicht gestellt, habe ich nun doch ein kleines Programm zum Erstellen von Timing Diagrammen im Text-Format geschrieben: DrawTimingDiagram.
Das Programm öffnet ein Eingabe- und ein Ausgabefenster. In das Eingabefenster können Kommandos geschrieben werden, die beim Klick auf den Start-Knopf in ein Timing-Diagramm im Ausgabefenster umgewandelt werden. Ein kleines Beispiel zeigt der folgende Screenshot:
Das so erzeugte Diagramm kann über das Clipboard aus dem Ausgabefenster in eine UTF8-Textdatei übernommen werden.
Eine kurze Beschreibung der unterstützten Eingabekommandos mit einem etwas komplexeren Timing Diagramm Beispiel findet sich in der Online-Hilfe.
Anlässlich meiner diversen Designs in den vergangenen Monaten, brauchte ich immer wieder mal die Möglichkeit, einfache Grafiken, Tabellen und Formeln als Text in die Quelltexte der C‑Programme und Verilog-Dateien als Kommentarblöcke einzubetten. Bisher habe ich mehr schlecht als recht mit AACircuit gearbeitet, das allerdings schon reichlich angestaubt ist und auch seine Macken hat. Eine Suche im Internet förderte ein paar sehr hilfreiche Online-Tools zu Tage.
Diagon – ASCII art diagram collection
Diagon (Diagram Online) ist ein Online-Tool, um mathematische Ausdrücke, Tabellen, Flußdiagramme und sonstiges in ASCII- oder UTF-8-Format umzuwandeln. Einfach mal die Website aufrufen und ausprobieren. Man wählt zunächst das Werkzeug aus und kann dann im Eingabefenster die Rohdaten eingeben. Sie werden dann sofort im Ausgabefenster dargestellt und können mit Copy&Paste in den eigenen Code übernommen werden. Für jedes Tool gibt es ein oder mehrere Beispiele, die zeigen, wie es geht.
ASCIIFLOW
ASCIIFLOW ist ein weiteres Online-Tool, das auf das Zeichnen einfacher geometrischer Formen spezialisiert ist. Man kann Rechtecke, Linien und Pfeile zeichnen und natürlich auch Texte eingeben. ASCIIFLOW unterstützt außer dem ASCII-Zeichensatz auch den erweiterten Zeichensatz, der schöne Linien und Ecken darstellen kann. Darüberhinaus kann man das Ergebnis direkt als Kommentare in /* und */ einbetten. Das zeigt, was der Entwickler im Sinn hatte.
Textik
Textik funktioniert ähnlich wie ASCIIFLOW. Auch hier kann man auf einer Leinwand einstellbarer Größe Rechtecke, Linien, Pfeile und Text zeichnen. Anders als ASCIIFLOW kennt Textik unterschiedliche Ebenen in z‑Richtung. Man kann also wählen, ob ein Objekt über oder unter anderen Objekten liegt. Dafür unterstützt Textik aber nur den Standard ASCII Zeichensatz.
Was noch schön wäre…
Ich hätte noch ein Tool gesucht, das einfache (extended-) ASCII-Timing Diagramme darstellen kann. Auch das ist in Quelltexten immer wieder mal nötig. Bisher zeichne ich sowas von Hand, dabei bricht man sich die Finger. Est recht, wenn man daran etwas ändern muß. Wer sowas kennt, kann mich gerne kontaktieren. Ich habe auch schon überlegt, sowas selber zu schreiben.
