Antennenanpassglieder sind in der Regel einfache LC- oder CL-Tiefpässe, mit denen der in der Regel reelle Ausgangswiderstand eines Generators an eine in Grenzen beliebige komplexe Lastimpedanz angepasst wird. Diese Anpassung ist schmalbandig, sie gilt genaugenommen nur für eine einzige Frequenz.
Der CL-Tiefpass hat einen Kondensator parallel zum Generator und eine Spule in Serie zur Last.
Der LC-Tiefpass hat eine Spule in Serie zum Generator und einen Kondensator parallel zur Last. Anpassglieder lassen sich auch als Hochpass konfigurieren, Tiefpässe werden aber wegen der Unterdrückung harmonischer Frequenzen bevorzugt.
Die benötigten Kapazitäten und Induktivitäten für Anpassglieder dieser Art werden seit Jahrzehnten mit Hilfe des Smith-Diagramms graphisch bestimmt. Anfangs geschah das auf Papier, aber inzwischen gibt es elegante Lösungen für einen PC. „Smith“ von Fritz Dellsperger sei hier genannt, das allerdings in der kostenlosen Demoversion einige Limitierungen aufweist. Für viele einfache Berechnungen ist es dennoch gut verwendbar. Ich verwende aber seit einigen Jahren lieber das ebenfalls kostenlose und funktional unbeschränkte SimSmith. Es hat zudem eine deutlich erweiterte Funktionalität, was freilich die Bedienung etwas schwieriger macht. Dieser Beitrag zeigt, wie man zumindest die gezeigten einfachen Anpassglieder auch mit LibreOffice Calc berechnen kann.
Komplexe Zahlen in Calc
Calc unterstützt das Rechnen mit komplexen Zahlen, wie es für die Berechnung von Impedanzen notwendig ist. Das geht leider nicht direkt mit den mathematischen Operatoren +, -, * und /, sondern ist über Funktionen implementiert. Hier nun eine kurze Auflistung der nachfolgend benötigten Funktionen. Wie üblich werden komplexe Zahlen durch einen Unterstrich gekennzeichnet.
KOMPLEXE(Realteil;Imaginärteil;"j")
Erzeugt eine komplexe Zahl mit dem angegebenen Realteil und Imaginärteil. Als imaginäre Einheit wird "j" gewählt, auch "i" wäre möglich.
IMREALTEIL(I)
Gibt den Realteil der komplexen Zahl I zurück.
IMAGINÄRTEIL(I)
Gibt den Imaginärteil der komplexen Zahl I zurück.
IMSUMME(I1;I2), IMSUB(I1;I2), IMDIV(I1;I2), IMPRODUKT(I1;I2)
Bildet die Summe, die Differenz, den Quotienten oder das Produkt zweier komplexer Zahlen.
Viele weitere Funktionen für komplexe Zahlen werden unterstützt. Im Menüpunkt Einfügen, Funktion (Ctrl-F2) werden sie angeboten. Für Details konsultiere man die LibreOffice-Hilfe oder das Internet.
Konventionen bei der komplexen Wechselstromrechnung
Hier eine kurze Auflistung der nachfolgend eingehaltenen Konventionen bei den Bezeichnungen.
j = Wurzel(-1)
ist die imaginäre Einheit. Um Verwechslungen mit der Stromstärke zu vermeiden, wird die imaginäre Einheit in der Elektrotechnik üblicherweise mit "j" statt mit "i" gekennzeichnet.
R
ist der reelle Wirkwiderstand.
X
ist der Blindwiderstand. Auch X ist eine reelle Zahl.
Z = R + jX
ist die komplexe Impedanz.
G
ist der reelle Wirkleitwert, auch Konduktanz genannt.
B
ist der Blindleitwert, auch Suszeptanz genannt. So wie X ist auch B eine reelle Zahl.
Y = G + jB = 1 / Z
ist der komplexe Leitwert, der auch Admittanz genannt wird.
Nachfolgend werden die Impedanzen und Admittanzen des Generators mit Gen und die der Last mit Last gekennzeichnet, also beispielsweise ZGen und YLast. Damit sollen Verwechslungen mit den Induktivitäten und Kapazitäten vermieden werden, die beispielsweise mit ZL und YC1 gekennzeichnet werden. Reihen- und Parallelschaltungen werden mit verketteten Indizes gekennzeichnet, also beispielsweise ZGen-L oder ZC||Last.
Genauso wie bei Widerstandsnetzwerken unter Gleichspannung addieren sich auch bei Wechselspannung die Impedanzen, wenn komplexwertige Widerstände in Serie geschaltet werden. Bei parallelgeschalteten Widerständen addieren sich ihre Admittanzen.
Nachrechnen eines Beispiels
Versuchen wir zur Einführung ein kleines Beispiel. Eine komplexe Last ZLast = 20 + 50j soll bei 1,8 MHz an einen Generator mit einem Ausgangswiderstand von 50 Ω angepasst werden. Hier die Lösung mit SimSmith:
Zunächst bestimmt man die Kapazität des Kondensators (rot) unter Vernachlässigung des Blindwiderstands so, daß der Realteil der Impedanz ZLast||C=50 Ω wird. Das ist der Fall bei 2,363 nF. Die Induktivität der Spule wird dann so gewählt, daß der verbleibende Blindwiderstand kompensiert wird. Das Beispiel kann man nun auch mit Calc nachrechnen:
In den Zellen C2..C7 werden die Parameter angegeben, so wie sie auch bei SimSmith angegeben bzw. errechnet wurden. In den Zeilen darunter werden zunächst die Impedanzen und Admittanzen der einzelnen Komponenten berechnet.
In C18 und C19 werden die Admittanz und daraus die Impedanz der Parallelschalung des Kondensators mit der Last berechnet. In C20 wird dann noch die Impedanz der Spule dazugefügt. Im Rahmen der graphischen Genauigkeit von SimSmith ergibt sich die reelle Impedanz von 50 Ω. Die Berechnung mit Calc stimmt also mit SimSmith überein.
In C22..C25 wird die Impedanz in umgekehrter Richtung bestimmt. Sie ist konjugiert komplex zu der Impedanz der Last. Auch das ist korrekt. Man kann Anpassglieder also mit LibreOffice Calc berechnen. Hier die Anzeige der verwendeten Formeln:
Kann man denn auch die Werte von C1 und L1 mit Calc bestimmen? Ja, aber es ist etwas komplizierter.
Berechnen von Anpassgliedern
Versuchen wir im ersten Ansatz die Werte für ein LC-Glied zu bestimmen, bei dem also die Spule seriell zum Generator geschaltet ist und der Kondensator parallel zur Last. Das ist die bereits im Beispiel gezeigte Konfiguration. Bei der Berechnung geht man vor wie bei SimSmith: zunächst die Kapazität so bestimmen, daß der Realteil von ZLast||C1 = 50 Ω wird, dann den verbleibenden Blindwiderstand mit der Spule kompensieren. Zur Erläuterung der nachfolgenden Umformungen sei auf die Regeln zur Division komplexer Zahlen verwiesen.
Bei der Division ergibt sich eine quadratische Gleichung mit einem Realteil und einem Imaginärteil. Der Imaginärteil wird nun verworfen, denn wir suchen den Realteil, der gleich dem Generatorwiderstand wird. Durch Umformung erhält man eine Gleichung zur Berechnung des Blindleitwerts B aus dem Wirkleitwert G:
Damit lässt sich nun die Admittanz YLoad||C1 bestimmen. Der Kondensator C1 soll hier als ideal angenommen werden. Sein Wirkwiderstand sei 0 Ω und seine Güte damit unendlich. Der einzige Beitrag zum Wirkleitwert G kommt damit von der Last, wir setzen als G = GLoad:
Es gibt also zwei Lösungen, eine mit der positiven und eine mit der negativen Wurzel. Diese Zweideutigkeit sieht man auch in SimSmith: es gibt zwei Punkte, bei denen der Wirkwiderstand 50 Ω wird. Sie sind hier mit roten Kreisen gekennzeichnet:
Die Admittanz der Last ist vorgegeben und daraus lässt sich nun der benötigte Blindleitwert und der Blindwiderstand des Kondensators berechnen:
Für eine vorgegebene Kreisfrequenz ω bestimmt man aus dem so errechneten Blindwiderstand die Kapazität des Kondensators nach der altbekannten Formel:
Welcher Wert ist nun der richtige? Zunächst einmal muß er positiv sein, denn negative Werte bedeuten eine Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn, was einem induktiven Wert entspräche. Sind beide Werte positiv, dann muß man den größeren von beiden nehmen, denn sonst kommt man nicht auf den unteren Punkt der Kurve, sondern bleibt am oberen hängen. Anders ausgedrückt nehme man den größeren der beiden Werte. Ist keiner davon positiv, dann gibt es keine Lösung für dieses LC-Glied.
Zum Abschluss bestimmt man die Induktivität der Spule. Sie kompensiert den verbleibenden kapazitiven Anteil und damit ist ihr Blindwiderstand derselbe wie von ZLoad||C1, nur mit umgekehrtem Vorzeichen.
Hier nun ein Screenshot des Calc-Sheets zur Berechnung des LC-Anpassungsglieds:
und hier mit der Anzeige der Formeln:
Hier ist die Calc-Datei mit den hier gezeigten Beispielen:
Sie enthält auch die Berechnung eines CL-Anpassgliedes, das hier nicht besprochen werden soll. Es funktioniert analog zum LC-Glied.
Es sei darauf hingewiesen, daß nicht alle möglichen Fehler abgefangen wurden. Beispielsweise gibt es eine Division durch Null, wenn die Last bereits mit R = 50 Ω angepasst ist. Es sollte hier nur darum gehen, das Prinzip zu zeigen.
Anhang: Division komplexer Zahlen
Nachfolgend noch ein kurzer Exkurs in das Rechnen mit komplexen Zahlen. Die Division durch eine komplexe Zahl erreicht man durch Erweitern des Bruchs mit ihrem konjugiert komplexen Wert. Damit verschwindet die imaginäre Einheit im Nenner. Hier ein Beispiel zur Berechnung der Impedanz Z aus der Admittanz Y:
Das Ergebnis der Division ist wieder eine komplexe Zahl mit einem Realteil und einem Imaginärteil. Es fällt auf, daß beim Quotienten nun sowohl Anteile des vorherigen Imaginärteils im Realteil auftauchen als auch umgekehrt. Außerdem kommen quadratische Terme vor.
Hier der LibreOffice Math Quelltext zum Erzeugen der hier genannten Formeln.
